純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）20

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176: １３２人目の素数さん [] 2025/05/08(木) 14:06:45.52 ID:8FebRs8e

>>174-175
ふっふ、ほっほ

＜高校生へのヒント＞
・昔読んだ 下記”私の数学勉強法”（世界的に認められる研究業績を残した17人の研究者が語る数学勉強法）下記で
　計算尺で簡単なモデル計算をして、それをさらに精度を上げて、ちゃんとした数学モデルにしていくという
　手法が書いてあった。なるほどと思った
・これを一般化すると、まず 簡単な具体的モデルで考えてみるってことが大事だね（グロタンディークみたいな抽象論オンリーの天才(変人?
)は別だ）
　いまの場合に当てはめると
　i)簡単に、区間(0,10)の整数部1桁で 小数部が無限である 数列を考えることにしよう
　ii)古代ギリシャの昔から、人は√2が無理数だと知っていた（aが有理数の平方数でないとき√aは無理数だね）
　iii)『有限小数の桁が一つずつ伸びる形のコーシー列』>>173 は 単調増加列だ
　iv)そうしていま、簡単のために この有限小数による数列で、有理数に収束するものは除外する（無理数のみを考える）
　　こうすると、無理数だから 9999・・・のような循環する繰り上がりのシッポは持たないので 話が簡単になる
　v)『有限小数の桁が一つずつ伸びる形のコーシー列』は、なんらかの一般有理コーシー列の同値類に入ることは自明
　　かつ 逆は、一般有理コーシー列において その同値類内に 単調増加列が存在するよね（証明は思いつくであろう by ガロア）
　　その単調増加列を使って、それを 『有限小数の桁が一つずつ伸びる形のコーシー列』に落とせば良い
　　要するに、>>173の”εとして ε→ 10^(1−m) when m < n ”
　　十分大きい数Nをとって N <  m < n のときに
　　コーシー列の各項は、ある小数の桁まで一致している必要がある（そうでなければ ε→ 10^(1−m)  とできない）
　　この一致している部分から 『有限小数の桁が一つずつ伸びる形のコーシー列』が構成できる
　　あとは、10^(1−m) のmをもっと大きくできるような もっと十分大きい数N を取って これを繰り返す
　　
正式な証明は、これを丁寧に書けば良いだけだが、余白が狭い by フェルマー
便所板では 証明ゴッコはやらない主義なので この程度でお茶濁す by スレ主

(参考)
https://www.kinokuniya.co.jp/f/dsg-01-9784478820032
紀伊國屋書店
サイエンスブックス
私の数学勉強法
吉田洋一/矢野健太郎（数学者）
アマゾンレビュー
maru-chin
5つ星のうち5.0 世界的に認められる研究業績を残した17人の研究者が語る数学勉強法。
2018年9月28日に日本でレビュー済み

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745503590/176

184: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/09(金) 11:18:07.32 ID:bmPDK4UI

>>176
ふっふ、ほっほ

＜落ちコボレさんへのヒント＞
『任意の実数αは有限または無限小数で表される』
一般人が直観的にとらえていることだが、当然ながら これは 数学的に立証できる
ある程度の長い議論が必要だが
下記の chiebukuro.yahooや、尾畑研 東北大 など(他にも多数ある)を見ればいい
そんなところに ツッコミ入れても 岩に頭突きをいれているが如しだよｗ ；ｐ）

(参考)
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q14223453754
chiebukuro.yahoo
kot********さん
chiebukuro.yahoo
2020/4/20任意の実数αは有限または無限小数で表されることを示せ。
この問題について、今までこれは当たり前だと思っていたのですが、示せって言われるとよく分かりません。助けてください。
ベストアンサー
mao********さん
2020/4/21
示すべきは、
α =Σ[n=0→∞]a(n)/10ⁿ
となるよう整数列a(n)(a(0)を除いて1≦a(n)≦9)が存在することを示すことです。
こう書くとなんだか自明じゃありませんね。
https://math.stackexchange.com/questions/409658/can-every-real-number-be-represented-by-a-possibly-infinite-decimal
Can every real number be represented by a (possibly infinite) decimal? asked Jun 2, 2013 WakeUpDonnie
こちらを参考にしていきたいと思います。

[定理]
任意の実数は小数展開
α = a₀.a₁a₂...をもつ。
(証明)
まず、a₀≦α<a₀+1となる整数a₀が存在します。
次に、a₀からa₀+1までの区間を10分割すると、どこかの区間に入るはずです。つまり、ある整数0≦a₁≦9が存在して、
a₀+a₁/10≦α<a₀+(a₁+1)/10
となるはずです。
これを繰り返して、
数列{a(n)}を得ます。
この数列a(n)は、(0を含む)任意の自然数nに対して
Σ[k=0→n-1]a(k)/10^k + a(n)/10ⁿ≦α<Σ[k=0→n-1]a(k)/10^k + (a(n)+1)/10ⁿ
を満たします。この式を(1)とします。
S(n) = Σ[k=0→n]a(k)/10^k
と定義したとき、
lim[n→∞]S(n)=α
となることが示したいことです。
いま、(1)式の左半分より、任意の自然数nに対してS(n)≦αが成立します。
これはS(n)が上に有界であることを意味します。
また、a(1),a(2),...はすべて正なので、S(n)は単調増加数列です。
上に有界な単調増加数列は収束するので、lim[n→∞]S(n)は収束します。
この極限値をAとすると、A≦αです。
一方、(1)式の右半分から、
α<S(n)+1/10ⁿです。
右辺の極限をとれば、
α≦Aを得ます。
以上よりα=A=Σ[n=0→∞]a(n)/10ⁿを得ます。
したがって小数展開できるわけです。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745503590/184

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