純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）20

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167: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/07(水) 11:21:47.93 ID:w6tWvnRz

>>151
>>言わんとすることは 最初から一意の無限10進小数展開を使えば、実数の構成だけなら 同値使わずにやれるってだけのこと
>じゃやってみて
>君の言う方法で構成した集合が実数の公理を満たすことを示してみて
>大口叩く前に実際にやってみせてよ

ふっふ、ほっほ
１）高校生でもわかる簡単な話だが・・
　下記Cauchy sequence en.wikipediaの通りです
　つまり、１例で円周率 r=π this sequence is (3, 3.1, 3.14, 3.141, ...)
　The mth and nth terms differ by at most 10^(1−m) when m < n
２）かように、いま任意の無理数 r'に対して πと同じようにできて（任意有理数も同じ）
　有限小数の列 (a0, a1, a2, ... ,am, ... ,an,, ... )
（注：am+1は、小数第m位の有限小数amに対して 一桁多い小数第m+1位の有限小数である。
　これで 無限列でコーシー列だね）
（なお、蛇足ながら、一桁ずつ桁が増えるので コーシー列で かつ一意になる）
３）逆に、有限小数は 有理数であるから、上記の有限小数のコーシー列は、有理コーシー列の一種だ
　まとめると
　i)任意の無理数 r'に対して それの有理コーシー列から 代表が一つ決まると、そこから
　　上記 r=π 同様に 一桁ずつの有限小数のコーシー列
　 (a0, a1, a2, ... ,am, ... ,an,, ... )が決まる（これは一意）
　ii)逆に、一桁ずつの有限小数のコーシー列は、有理コーシー列 である
　従って、一桁ずつの有限小数のコーシー列 ←→ 有理コーシー列 （数学的には同値）がなりたつ
４）上記３）項の通り 一桁ずつの有限小数のコーシー列が、有理コーシー列（による構成）と同値なので
　あとは、有理コーシー列による扱いの通りです。つまり、四則と絶対値について
　有理コーシー列による議論をそのまま、有限小数のコーシー列に落とせばいい
　こまかい部分は、下記”数学科に入ったら読む本” 福井敏純の ”第7章有理数の完備化95”を見てね （＾＾
（四則の商は多少工夫が必要（分数が混じるので それを 有限小数に落とす議論（循環節の処理）が必要だろうが））
　p進数での完備化もあるよ ；ｐ）

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_sequence
Cauchy sequence
In real numbers
For any real number r, the sequence of truncated decimal expansions of r forms a Cauchy sequence. For example, when
r=π, this sequence is (3, 3.1, 3.14, 3.141, ...). The mth and nth terms differ by at most
10^(1−m) when m < n, and as m grows this becomes smaller than any fixed positive number ε.

https://www.rimath.saitama-u.ac.jp/lab.jp/ToshizumiFukui.html
福井　敏純 埼玉大学数学科
https://www.rimath.saitama-u.ac.jp/lab.jp/Fukui/lectures/
講義ノートなど
https://www.rimath.saitama-u.ac.jp/lab.jp/Fukui/lectures/intro.pdf
数学科に入ったら読む本 福井敏純 2025 年1月9日
はじめにiii
0.1数学とは. . . . . iii
0.2数学をわかるようになるには?. . . iv
第7章有理数の完備化95
7.1有理数の完備化...... 96
7.2実数....... 100
7.3 p進数. . . 104

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745503590/167

169: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/07(水) 22:25:23.69 ID:Lbk+1twB

>>167 補足

ふっふ、ほっほ
名古屋では・・・、”1.3筆者の結果の概要
上で述べたような{cn}は無限に存在するから、筆者による証明は実数の構成法が無限にあることを示している”！ （＾＾

(参考)
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1874-16.pdf
数理解析研究所講究録第1874巻 2014年 139-149
交代級数を用いた実数の構成法について
名古屋大学・多元数理科学研究科 池田創一

1.1実数を構成するとは
まずこれから書くことは、[8]に詳しく書いてあることを筆者の考えをふまえつつまとめたものであることを述べておく。
（[8].田中一之、鈴木登志雄，数学のロジックと集合論，培風館，2007.）

現在の数学が扱う対象のほとんどが集合論により記述できることは大学の講義でも習うことであるし、ろう。そして現在「集合論」また経験的にも分かっていることであといえば、多くの場合は公理的集合論を指すだろう。

ところが、自然数や実数といった数についての公理は公理的集合論の公理ではない。
また、公理的集合論の公理が直接数を定義している訳でもない。
つまり公理的集合論において、数は質は定理として証明されるものである。
例えば、自然数(ここでは0も含む)は 0=Φ 1={0}={Φ}, n+1={0,1,2, ・・・,n}=n∪{n}と定義される (本当は公理的集合論の公理「無限公理」を用いて自然数全体の集Nが定義される)。そして、NからZ,Q,Rと数の世界を広げていくのである。この文書はQからRを構成する方法について述べたものである。

1.2実数の構成法の例
ここでは筆者の研究に関連の深い A.KnopfmacherとJ.Knopfmacherの方法について簡単に述べる。
彼らの方法は実数の級数表示(小数展開のようなもの)から逆に実数を構成する方法である。

1.3筆者の結果の概要
上で述べたような{cn}は無限に存在するから、筆者による証明は実数の構成法が無限にあることを示している

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745503590/169

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