[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）20 (1002ﾚｽ)
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167(5): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 05/07(水)11:21 ID:w6tWvnRz(1) AAS
>>151
>>言わんとすることは 最初から一意の無限10進小数展開を使えば、実数の構成だけなら 同値使わずにやれるってだけのこと
>じゃやってみて
>君の言う方法で構成した集合が実数の公理を満たすことを示してみて
>大口叩く前に実際にやってみせてよ
ふっふ、ほっほ
１）高校生でもわかる簡単な話だが・・
下記Cauchy sequence en.wikipediaの通りです
つまり、１例で円周率 r=π this sequence is (3, 3.1, 3.14, 3.141, ...)
The mth and nth terms differ by at most 10^(1−m) when m < n
２）かように、いま任意の無理数 r'に対して πと同じようにできて（任意有理数も同じ）
有限小数の列 (a0, a1, a2, ... ,am, ... ,an,, ... )
（注：am+1は、小数第m位の有限小数amに対して 一桁多い小数第m+1位の有限小数である。
これで 無限列でコーシー列だね）
（なお、蛇足ながら、一桁ずつ桁が増えるので コーシー列で かつ一意になる）
３）逆に、有限小数は 有理数であるから、上記の有限小数のコーシー列は、有理コーシー列の一種だ
まとめると
i)任意の無理数 r'に対して それの有理コーシー列から 代表が一つ決まると、そこから
上記 r=π 同様に 一桁ずつの有限小数のコーシー列
(a0, a1, a2, ... ,am, ... ,an,, ... )が決まる（これは一意）
ii)逆に、一桁ずつの有限小数のコーシー列は、有理コーシー列 である
従って、一桁ずつの有限小数のコーシー列 ←→ 有理コーシー列 （数学的には同値）がなりたつ
４）上記３）項の通り 一桁ずつの有限小数のコーシー列が、有理コーシー列（による構成）と同値なので
あとは、有理コーシー列による扱いの通りです。つまり、四則と絶対値について
有理コーシー列による議論をそのまま、有限小数のコーシー列に落とせばいい
こまかい部分は、下記”数学科に入ったら読む本” 福井敏純の ”第7章有理数の完備化95”を見てね （＾＾
（四則の商は多少工夫が必要（分数が混じるので それを 有限小数に落とす議論（循環節の処理）が必要だろうが））
p進数での完備化もあるよ ；ｐ）
(参考)
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Cauchy sequence
In real numbers
For any real number r, the sequence of truncated decimal expansions of r forms a Cauchy sequence. For example, when
r=π, this sequence is (3, 3.1, 3.14, 3.141, ...). The mth and nth terms differ by at most
10^(1−m) when m < n, and as m grows this becomes smaller than any fixed positive number ε.
外部ﾘﾝｸ[html]:www.rimath.saitama-u.ac.jp
福井 敏純 埼玉大学数学科
外部ﾘﾝｸ:www.rimath.saitama-u.ac.jp
講義ノートなど
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.rimath.saitama-u.ac.jp
数学科に入ったら読む本 福井敏純 2025 年1月9日
はじめにiii
0.1数学とは. . . . . iii
0.2数学をわかるようになるには?. . . iv
第7章有理数の完備化95
7.1有理数の完備化...... 96
7.2実数....... 100
7.3 p進数. . . 104
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