[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）20 (1002ﾚｽ)
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917: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 07/19(土)15:06 ID:jT6bEcWg(1/5) AAS
>>910-916
>D:LZotDto/はこっちでも荒らしてるのか
>荒らすなら数学板から出てけよ
こらこら
ID:clDQsZIy は、だれかと思えば
おサルさん（>>5）の連れじゃないの？
そもそも、５ｃｈ便所板で 勝手に仕切るな おい
むかし、２ｃｈ時代には プロ数学者も何人か居たと聞くが
いま、絶滅危惧種だよ ID:LZotDto/は 貴重な プロ数学者だよ （＾＾
920(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 07/19(土)15:34 ID:jT6bEcWg(2/5) AAS
>>874 戻る
>Informally と intersection が同一文内にある。だから∩を使った構成は間違い。
えーと >>867 より再録
>>852-853より
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Axiom of infinity
Extracting the natural numbers from the infinite set
Φ(x) be the formula that says "x is inductive"; i.e.
Φ(x)=(∅∈x∧∀y(y∈x→(y∪{y}∈x))).
Informally, what we will do is take the intersection of all inductive sets. More formally, we wish to prove the existence of a unique set W such that
∀x(x∈W↔∀I(Φ(I)→x∈I)). (*)
For existence, we will use the Axiom of Infinity combined with the Axiom schema of specification.
Let I be an inductive set guaranteed by the Axiom of Infinity. Then we use the axiom schema of specification to define our set
W={x∈I:∀J(Φ(J)→x∈J)}
– i.e. W is the set of all elements of I, which also happen to be elements of every other inductive set. This clearly satisfies the hypothesis of (*), since if x∈W, then
x is in every inductive set, and if
x is in every inductive set, it is in particular in I, so it must also be in W.
For uniqueness, first note that any set that satisfies (*) is itself inductive, since 0 is in all inductive sets, and if an element
x is in all inductive sets, then by the inductive property so is its successor. Thus if there were another set
W′ that satisfied (*) we would have that
W′⊆W since
W is inductive, and
W⊆W′since
W′is inductive. Thus W=W′.
Let ω denote this unique element.
This definition is convenient because the principle of induction immediately follows: If
I⊆ω is inductive, then also
ω⊆I, so that I=ω.■
(引用終り)
１）”Informally, what we will do is take the intersection of all inductive sets.”
intersection：共通部分 英: intersection（下記）ね
２）で、これ ”Informally”とあるよね。つまり、
”∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}”>>727 は、”Informally”なんだよ
ここを勘違いした人が ja.wikipediaに >>847の”ペアノの公理”を 書いたんじゃないの？
３）さて、Formallyには ”Let I be an inductive set guaranteed by the Axiom of Infinity. Then we use the axiom schema of specification to define our set
W={x∈I:∀J(Φ(J)→x∈J)}
– i.e. W is the set of all elements of I, which also happen to be elements of every other inductive set.”
だよね。ここに、”∩”は 使われない
(引用終り)
つづく
921(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 07/19(土)15:34 ID:jT6bEcWg(3/5) AAS
つづき
ことの始まりは、>>563 より
(参考)
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ペアノの公理
自然数の集合論的構成
現代数学において標準的な数学の対象はすべて集合として実現されている。集合論における自然数の標準的な構成法としては、
・N:=∩{x⊂A∣∅∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}
・0:=∅
・S(x):=x∪{x}
がある。ただしここでAは無限公理により存在する集合を任意に選んだものである。
これらの集合は存在して、ペアノの公理を満たすことが確かめられる。
この構成法はジョン・フォン・ノイマンによる[7]。
1）ペアノ公理の自然数の集合論的構成で、ノイマンによるものの説明です
ここで、”N:=∩{x⊂A∣∅∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}”、”Aは無限公理により存在する集合を任意に選んだもの”
とあるので、集合の積∩は 任意A つまり 全てのA と読めます
ノイマンの最初の論文がこうだったという都市伝説がある（私は原論文は未確認）
2）で、wikipediaの記載は こうだとしても・・
任意Aあるいは全てのAの 集合の積∩を考えるというのは 当然突っ込みどころであります
(引用終り)
上記 ペアノの公理 ja.wikipedia における
『N:=∩{x⊂A∣∅∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}』
なる式を だれかが書いたらしい
∩は、集合の積で intersection
上記の Axiom of infinity
”Informally, what we will do is take the intersection of all inductive sets.
More formally, we wish to prove the existence of a unique set W such that
∀x(x∈W↔∀I(Φ(I)→x∈I)). (*)”
における Informally ”take the intersection of all inductive sets.”を なんか勘違いして
だれかが書いたと思うんだよね
ところが、この『N:=∩{x⊂A∣∅∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}』を 必死で擁護するやつが いるんだ
自分が書いた式でもないし
繰り返すが en.wikipedia Axiom of infinity ”Extracting the natural numbers from the infinite set”では
”More formally, we wish to prove the existence of a unique set W such that・・”と
”∩”を 使ってないよと指摘したら、発狂する人がいるんだｗ
自分で書いた式でもないだろうし、intersection は en.wikipedia では ”Informally”なのに・・ｗｗ（＾＾
以上
930(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 07/19(土)23:39 ID:jT6bEcWg(4/5) AAS
>>920-921 補足
補強しておくよ ；ｐ）
>>563より
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ペアノの公理
自然数の全体を特徴づける公理
自然数の集合論的構成
N:=∩{x⊂A∣∅∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}*
0:=∅
S(x):=x∪{x}
具体的な自然数は
1:=S(0)={0}={∅}
2:=S(1)={0,1}={∅,{∅}}
3:=S(2)={0,1,2}={∅,{∅},{∅,{∅}}}
4:=S(3)={0,1,2,3}={∅,{∅},{∅,{∅}},{∅,{∅},{∅,{∅}}}}
のようになる。この構成法はジョン・フォン・ノイマンによる**[7]。
( 注*)ここに ∩ を使っているが、下記 坪井明人 筑波大 は ∩は使わない
**)この構成法のS(x):=x∪{x}で、S(x)はそれまでの自然数をすべて含み
例えば4の濃度は4 など となり、綺麗な自然数構成になる（by スレ主）)
対して
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.math.tsukuba.ac.jp (>>563)
数理論理学II 坪井明人 筑波大
P8
1.1.9 無限公理
無限公理：
集合 x に対して，x ∪ {x} を S(x) で表す．例えば，S(∅) = {∅}, S^2(∅) =S(S(∅)) = {∅, {∅}} である．
S は，successor の頭文字で，次の元*)という意味を持たせている．
( 注*)しばしば後者 あるいは後者関数と呼ばれる（by スレ主）)
無限公理：
∃x(∅ ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → S(y) ∈ x)).
x は ∅（0 と思う）を含んでいて，y が x に属すれば，y の次の元 S(y) も x に
属している．そのような x が存在することを主張するのが無限公理である．
直観的には，自然数全体のような集合が存在することを意味する．
無限公理によって保証される集合は， ∅, S(∅), S^2(∅), S^3(∅), . . . をすべて元
として含む集合である．しかし余分な元を含んでいるかも知れない．そこで自然数全体の集合 ω を
{∅, S(∅), S^2(∅), S^3(∅), . . . }
として定義したい．しかし「. . . 」の部分は直観的な説明としては容認できるが，
我々の立場では定義とは言い難い 1．そこで ω を条件
∅ ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → S(y) ∈ x)
を満たす最小の集合 x として定義したい：無限公理によって保証される無限集合 X を一つ選び，
ω = {y ∈ X : ∀x(φ(x) → y ∈ x)}*
とする．ここで φ(x) は ∅ ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → S(y) ∈ x) である．このようにす
れば，ω は集合であり，φ(x) を満たす最小のものになる（もちろん X の取り
方に依存しない）．
( 注*)ωは 最初の無限順序数を表し、ノイマン構成では ω＝Nである
坪井明人は、∩を使わない。この方が 簡明に思える（by スレ主）)
(引用終り)
要するに 坪井明人 筑波大の方が、ja.wikipediaの ペアノの公理 自然数の集合論的構成の
記号 ∩ を使った人よりも ちょっと賢い気がする今日この頃だなｗ ；ｐ）
931: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 07/19(土)23:53 ID:jT6bEcWg(5/5) AAS
>>929
>田中昇先生
御大か
巡回ありがとうございます
田中昇先生ね
下記の「常微分方程式の幾何学的理論」の原稿の貼付けは
記憶があるので 二度目と思いますが
もう一度貼っておきますね
(参考)
外部ﾘﾝｸ:nrid.nii.ac.jp
kaken
田中 昇 TANAKA NoboruORCIDORCID連携する *注記
研究者番号 80025296
所属 (過去の研究課題情報に基づく) *注記
1992年度: 北海道大学, 理学部, 教授
1990年度: 北海道大学, 理学部, 教授
1986年度 – 1988年度: 北海道大学, 理学部, 教授
外部ﾘﾝｸ[html]:mail.math.nagoya-u.ac.jp
[geometry-ml:02969] 田中昇先生ご遺稿の電子出版のご案内
kiyohara math.okayama-u.ac.jp
2017年 4月 26日
幾何学メーリングリストの皆様
北海道大学の名誉教授で、２０１１年に亡くなられた田中昇先生が
「常微分方程式の幾何学的理論」のテーマのもとに、１冊の本を構想され、
長らく書き溜めておられた原稿が、この度、
北海道大学数学講究録シリーズ
#169, #170: Geometric Theory of Ordinary Differential Equations I, II.
外部ﾘﾝｸ:www.math.sci.hokudai.ac.jp
として、電子的に公開されましたことをご案内いたします。
#169 の方が原稿をTeX化して整形したもの、#170 はオリジナル原稿の
スキャンイメージです。
清原一吉
岡山大学大学院自然科学研究科
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