[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）20 (1002ﾚｽ)
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682(1): 06/22(日)07:46 ID:e5q/Q8+J(1/4) AAS
>>681
ご苦労さまです
・内包表記には、下記”分出公理図式（内包公理図式）”あるいは”置換公理図式”を使うようです
・洗濯公理は、選択公理とも書かれるようですが、ＺＦ公理系の中では整列可能定理と同等だとか
なので、内包表記には 洗濯公理は不要のようですね
(参考)
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ツェルメロ＝フレンケル集合論
公理
3. 分出公理図式（内包公理図式）
→詳細は「分出公理」および「en:Axiom schema of specification」を参照
部分集合は通常、集合の内包的記法（英語版）を用いて表される。
ZFの公理の中で、この公理は置換公理と空集合の公理に従うという点で冗長である。
6. 置換公理図式
→詳細は「置換公理」を参照
置換公理は、定義可能な関数において集合の像も集合内にあると主張する。
9. 選択公理 (または同値な命題)
→詳細は「選択公理」を参照
任意の集合 X に対して、 X を整列する二項関係 R が存在する。
これは R が、空でない X のどの部分集合も R のもとで最小元を持つような、 X の全順序であることを意味する。
ZFの公理 (すなわち、前述の8つの公理および公理図式) の下で、選択公理は同値な主張をいくつか持つ。Kunenは選択公理に相当するものとして上記の主張を公理に設定した[9]が、これは通常整列可能定理と呼ばれるものである。
Zermelo (1908)で用いられた形でもある次の主張が公理になっている：空でなく、互いに交わらない集合族
略
をもつ。この形の選択公理は、一般的なものと同値だが使い勝手が悪い（選択関数を考える時とは違って集合族が互いに交わっていないことが必要となる）。ただ、公理を書くために必要な定義が少なくてすむという利点がある[10]。
選択公理の主張は通常次のようなものである：
略
選択公理は選択集合の存在を主張するが、選択集合がどのように「構築」されるかについては言及しないため、非構成的であるとされる。ACが存在を主張する特定の集合の定義可能性（または不可能性）を明らかにしようと、数多くの研究がなされた。
684(3): 06/22(日)13:50 ID:e5q/Q8+J(2/4) AAS
>>683
(引用開始)
>・内包表記には、下記”分出公理図式（内包公理図式）”あるいは”置換公理図式”を使うようです
じゃあ ∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]} の∩の対象が不明確とか文句付けたのはなんなの？ ただの言いがかり？ 君はチンピラかい？
(引用終り)
ご苦労さまです
1）説明責任という言葉がある。数学でも同じだが
ある人がある式を書いた。説明責任は、式を書いた人にある
2）さて集合積∩ は、まずは2項演算として定義されるよね
二つの集合AとBなら、A∩Bで明確だ
しかし、2項演算で ”Iterated binary operation”（下記）がある
日本語では 反復二項演算 と訳される
3）では問う
∩の反復二項演算として見た”∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}”
は、そもそも何者なのか？ その説明責任は、この式を書いた者にあるよ
例えば、有限の反復なのか無限なのか？ あるいは、無限反復として最初の幾つかの項を明示的に書いたらどうなるのか？
繰り返すが、説明責任は、
数学では、その式を書いた人にある
（>>666より再録する）
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Iterated binary operation
（google 和訳）
反復二項演算
数学において、反復二項演算とは、集合S上の二項演算を、反復適用によってSの有限個の要素の列上の関数へと拡張したものである。 [ 1 ]一般的な例としては、加算演算を総和演算に拡張することや、乗算演算を積演算に拡張することがあげられる。集合論的な演算である和と積など、他の演算も反復されることが多い
Σ、Π、∪、∩
さらに、下記がある（英文に戻す）
If S also is equipped with a metric or more generally with topology that is Hausdorff, so that the concept of a limit of a sequence is defined in S, then an infinite iteration on a countable sequence in S is defined exactly when the corresponding sequence of finite iterations converges. Thus, e.g., if a0, a1, a2, a3, … is an infinite sequence of real numbers, then the infinite product
∏i=0〜∞ ai
is defined, and equal to
lim n→∞ ∏i=0〜n ai,
if and only if that limit exists.
(引用終り)
688(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 06/22(日)16:23 ID:e5q/Q8+J(3/4) AAS
>>685
ふっふ、ほっほ
(引用開始)
>”∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}”は、そもそも何者なのか？
だからAの部分集合族の共通部分って教えてあげたよね？
(引用終り)
ここの ”∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}”は
最初 >>563 より
”N:=∩{x⊂A∣∅∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}”、”Aは無限公理により存在する集合を任意に選んだもの” by 外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org ペアノの公理
で登場した式だよね
で、問題は ”N:=∩{x⊂A∣∅∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}”が、正しいかどうか？
おれは、こんなところで ∩を使うのは如何かと 行っているのだ
いま記号を変えて、M =∩{x⊂A∣∅∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]} と書くよ
人は、無限集合としての自然数の集合Nが、空集合∅を含んで
かつyの後者たるy∪{y}を、無限に含むと知っている （カントールやノイマンによる）
これを、公理的に導きたいのだが
そのときに、積記号∩を使うのが適当かどうか？
”M＝N”が証明できれば、無問題 （望ましくは ”一意”の証明もね）
やってみてｗｗ ；ｐ）
（以前にも書いたが、話の順で 順序数の構成までいけば、それは結論としては可能だが
（実際 渕野氏は >>677で示した通り ”補題2.22
(1)自然数の要素は自然数である．
(2)集合Xを∅∈Xですべてのy∈Xに対しy∪{y}となるようなものとすると，Xはすべての自然数を含む．
補題2.22の証明は，以下に述べるＯn上の帰納法の説明の後まで保留する．”
などとしている。（ここに”Ｏn”は、順序数） ））
689(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 06/22(日)16:27 ID:e5q/Q8+J(4/4) AAS
>>688 タイポ訂正
おれは、こんなところで ∩を使うのは如何かと 行っているのだ
↓
おれは、こんなところで ∩を使うのは如何かと 言っているのだ
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