[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）20 (1002ﾚｽ)
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184(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 05/09(金)11:18 ID:bmPDK4UI(1/4) AAS
>>176
ふっふ、ほっほ
＜落ちコボレさんへのヒント＞
『任意の実数αは有限または無限小数で表される』
一般人が直観的にとらえていることだが、当然ながら これは 数学的に立証できる
ある程度の長い議論が必要だが
下記の chiebukuro.yahooや、尾畑研 東北大 など(他にも多数ある)を見ればいい
そんなところに ツッコミ入れても 岩に頭突きをいれているが如しだよｗ ；ｐ）
(参考)
外部ﾘﾝｸ:detail.chiebukuro.yahoo.co.jp
chiebukuro.yahoo
kot********さん
chiebukuro.yahoo
2020/4/20任意の実数αは有限または無限小数で表されることを示せ。
この問題について、今までこれは当たり前だと思っていたのですが、示せって言われるとよく分かりません。助けてください。
ベストアンサー
mao********さん
2020/4/21
示すべきは、
α =Σ[n=0→∞]a(n)/10ⁿ
となるよう整数列a(n)(a(0)を除いて1≦a(n)≦9)が存在することを示すことです。
こう書くとなんだか自明じゃありませんね。
外部ﾘﾝｸ:math.stackexchange.com
Can every real number be represented by a (possibly infinite) decimal? asked Jun 2, 2013 WakeUpDonnie
こちらを参考にしていきたいと思います。
[定理]
任意の実数は小数展開
α = a₀.a₁a₂...をもつ。
(証明)
まず、a₀≦α<a₀+1となる整数a₀が存在します。
次に、a₀からa₀+1までの区間を10分割すると、どこかの区間に入るはずです。つまり、ある整数0≦a₁≦9が存在して、
a₀+a₁/10≦α<a₀+(a₁+1)/10
となるはずです。
これを繰り返して、
数列{a(n)}を得ます。
この数列a(n)は、(0を含む)任意の自然数nに対して
Σ[k=0→n-1]a(k)/10^k + a(n)/10ⁿ≦α<Σ[k=0→n-1]a(k)/10^k + (a(n)+1)/10ⁿ
を満たします。この式を(1)とします。
S(n) = Σ[k=0→n]a(k)/10^k
と定義したとき、
lim[n→∞]S(n)=α
となることが示したいことです。
いま、(1)式の左半分より、任意の自然数nに対してS(n)≦αが成立します。
これはS(n)が上に有界であることを意味します。
また、a(1),a(2),...はすべて正なので、S(n)は単調増加数列です。
上に有界な単調増加数列は収束するので、lim[n→∞]S(n)は収束します。
この極限値をAとすると、A≦αです。
一方、(1)式の右半分から、
α<S(n)+1/10ⁿです。
右辺の極限をとれば、
α≦Aを得ます。
以上よりα=A=Σ[n=0→∞]a(n)/10ⁿを得ます。
したがって小数展開できるわけです。
つづく
185(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 05/09(金)11:19 ID:bmPDK4UI(2/4) AAS
つづき
外部ﾘﾝｸ:www.math.is.tohoku.ac.jp
尾畑研 東北大 「集合・写像・数の体系 数学リテラシーとして」の草稿(pdf)
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.math.is.tohoku.ac.jp
TAIKEI-BOOK :2019/1/1
第8章非可算集合
8.1実数の区間
8.2非可算集合
有限小数と無限小数ここでは実数を無限小数で表される数ととらえる
もう少し詳しく述べよう
略
ここである桁から先がすべて0となる小数を有限小数 そうでないものを無限小数と呼ぶことにする
略
補題8.5 f:Ω→(0,1}は全単射である したがってすべてのx∈(0,1}は無限小数によって一意的に表される
外部ﾘﾝｸ:shakayami-math.ｈａｔｅｎａｂｌｏｇ.com/entry/2019/04/16/224612
数学についていろいろ解説するブログ shakayami
無限小数 2019-04-16
well-defined性 略
全射性 略
■
（蛇足）
外部ﾘﾝｸ[html]:www.ms.u-tokyo.ac.jp
河野俊丈 Toshitake Kohno
Graduate School of Mathematical Sciences
The University of Tokyo
(from April 2020)
School of Interdisciplinary Mathematical Sciences
Meiji University
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.ms.u-tokyo.ac.jp
数学者は無限をどのように捉えてきたか 河野 俊丈 東京大学大学院数理科学研究科
(引用終り)
以上
189(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 05/09(金)12:08 ID:bmPDK4UI(3/4) AAS
>>186
ふっふ、ほっほ
君に 下記の ピーター・ショルツ氏が高校時代にフェルマーの証明を読んだ逸話を紹介しておく
キミは、フェルマーの最終定理証明は読んだのか？ Y or N
フェルマーの最終定理証明を理解しているのか？ Y or N
まず、これに応えてくれたまえ
話は、それからだなｗｗｗ ；ｐ）
(参考)
外部ﾘﾝｸ[html]:taro-nishino.blogspot.com
taro-nishinoの日記
フィールズ賞受賞者ピーター・ショルツへのインタヴュー
7月 25, 2019
今回紹介するのはピーター・ショルツ博士への最新のインタヴュー記事"Interview with Fields Medalist Peter Scholze"(PDF)
外部ﾘﾝｸ:ems.press
詳しく述べていただけますか?
私が15歳か16歳頃の時、フェルマーの最終定理が証明されていたことを知り、証明が何に関するものなのか、すなわち楕円曲線、モデュラ形式等を理解しようと努めた。何も分からなかった。実際、私は行列が何であるのか知らなかったが、非常に魅力的だった
これは若く急成長する数学者達にとって自然だと思います。何と言っても私達は幼い年齢で数を親しみ、遊んでいただろうから。しかし、貴方は理解不足によって落胆しなかったのですか?
いいえ、とんでもない。それ全体がワクワクさせ、私に大変興味を持たせ、それ全体が意味したことを学ぼうと没頭したから...
外部ﾘﾝｸ[html]:taro-nishino.blogspot.com
taro-nishinoの日記
2012年当時のピーター・ショルツへのインタヴュー
3月 24, 2019
今回紹介するのは、皆さんよくご存じのピーター・ショルツ博士のインタヴュー記事"Interview with Research Fellow Peter Scholze"(PDF)です
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.claymath.org
2012年 クレイ数学研究所の年報に掲載
貴方の数学教育について話していただけますか? どの体験と人々から影響を受けたのですか?
私は数学と自然科学を重視する特別な高校に通った。この元東ドイツの学校はGDR[訳注: ドイツ民主共和国。いわゆる通称東ドイツのこと]崩壊を生き延びていた。殆どの学校とは対照的に、数学を得意とすることはからかわれるものではなかったし、かっては数学オリンピックに参加することが強制でさえあった。驚いたことに私は非常にコンテストで非常に上手くやったので、もっと数学を学び始めた。その方向に私の先生達は強く支えてくれた。16歳ごろ私はフェルマ最終定理のワイルズの証明を理解したかったので、線型代数も知らずにモデュラ形式と楕円曲線について読み始めた。大部分インターネットを検索しながら、どうにか私は理解し、私の知識の欠落を埋めることが出来た
助言者がいたのですか? 誰が貴方の数学における興味を伸ばすことを手伝い、そしてどのようにしたのですか?
私がまだ学校にいた時にKlaus Altmannが代数幾何学を私に教え、後の勉強をする場所を選ぶことにも手伝った。彼はミヒャエル・ラポポート(私のアドヴァイザになった)[訳注: ラポポート博士の師匠はピエール･ドリーニュ博士です。]
のもとで勉強するためにボンへ行ってはどうかと勧めた。ラポポートは私に彼の学生の期間中にとんでもない量の数学を教えたし、概して素晴らしい助言者だった
195(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 05/09(金)18:22 ID:bmPDK4UI(4/4) AAS
>>185 追加
ぶっはは、ぶっはは ；ｐ）
google検索:Real number axiom set theory pdf
結果見繕い
１）
The real numbers in inner models of set theory
Dipòsit Digital de la Universitat de Barcelona
外部ﾘﾝｸ[pdf]:diposit.ub.edu
M Soto Quintanilla 著 · 2022 — Inner models are transitive set theoretic classes that satisfy the axioms of ZF and contain all the ordinals. That is, a smaller mathematical universe that ...
53 ページ
２）
外部ﾘﾝｸ[pdf]:web.math.ucsb.edu
Math 117: Axioms for the Real Numbers
John Douglas Moore October 11, 2010
The last stage is developing the real numbers R, which can be thought of as limits of sequences of rational numbers.
For example is the limit of the sequence (3,3.1,3.14,3.141,3.1415,3.14159,3.141592,・・・,3,14159265358979・・・ )
It is precisely the notion of defining the limit of such a sequence which is the major difficulty in developing real analysis.
It would take a long time just to define the real numbers in this manner.
３）
外部ﾘﾝｸ[pdf]:faculty.uccs.edu
VOL. 40, NO. 2, MARCH 2009 THE COLLEGE MATHEMATICSJOURNAL
An Independent Axiom System for the Real Numbers Greg Oman
Greg Oman is a visiting instructor at Otterbein College in Westerville, Ohio. He obtained his Ph.D. in 2006 from The Ohio State University, and currently works in several areas of mathematics including ring theory, semigroup theory, and logic. When not doing math, he enjoys working out, traveling, and playing with The Sweet.
４）
3 Axioms for the real number system
University of Notre Dame
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www3.nd.edu
The approach we are going to take to understanding the real numbers will be axiomatic: we will write down a collection of axioms, that we should all agree that ...
30 ページ
５）
Axioms of Set Theory
ETH Zürich
外部ﾘﾝｸ[pdf]:people.math.ethz.ch
W Axioms 著 — As an application of the CANTOR–BERNSTEIN THEOREM 3.14 let us show that the set of real numbers, denoted by R, has the same cardinality as 乡(ω).
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