[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）20 (1002ﾚｽ)
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238(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 05/13(火)00:25 ID:XUAoQ/gK(1/3) AAS
>>233
>どこで収束すると言うかによる
ID:mjJBPKO4 は、御大か
巡回ご苦労さまです
そうですね
前にも書いたが、昔高校時代に「大学への数学」のコラムに、p進付値についての記事があったのです
非アルキメデスとか 書いてあった記憶があります。当時 妙に感心しました
下記ですね
オストロフスキーの定理、
有理数体 Q 上の付値は、3つあり 自明なもの、通常の絶対値、それにp進付値
付値の取り方によって、収束するかしないかは 変わりますよねｗ ；ｐ）
(参考)
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
p進数
定義
有理数体 Q の p 進付値が定める距離（p 進距離）dp による完備化を Qp と表し、その元を p 進数と呼ぶ。Qp は Q における四則演算と距離空間の位相とを自然に拡張した演算と、p 進距離により定まる位相構造とを持つ。この四則演算に関して Qp は体をなし、演算はこの距離位相に関して連続である。この両立する演算と位相を持つ位相体 Qp を p 進数体という
p 進数体の性質
p 進数が p 進展開と一対一に対応することから、p 進数体は連続体濃度を持つ。Q を部分体として含むので、標数は 0 である。どのように順序を入れても順序体にはできない。実数体 R の代数閉包（複素数体 C）が二次拡大で完備であるのに対し、p 進数体 Qp の代数閉包 Qp は無限次拡大でしかも完備ではない。その完備化は代数閉体であって、Cp と表される。これは複素数体 C と体として同型であるが、同型写像の存在は選択公理に依存しており、具体的に同型写像を与えることはできない
関連文献
加藤文元、中井保行『天に向かって続く数』日本評論社2016 - p進数の入門書
高木貞治「第10章 素数進法(𝖕 進法)」『代数的整数論』(第2版)岩波書店1971
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
オストロフスキーの定理
有理数体 Q 上の全ての非自明な付値は、通常の実数の絶対値か、または、p-進付値に同値であるという定理である
1916年にアレクサンドル・オストロフスキー によって証明された
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Ostrowski's theorem
In number theory, Ostrowski's theorem, due to Alexander Ostrowski (1916), states that every non-trivial absolute value on the rational numbers
Q is equivalent to either the usual real absolute value or a p-adic absolute value.[1]
Theorem statement
Let |・|∗:Q→R be any absolute value on the rational numbers.
Then either |・|∗=|・|0, or |・|∗ is equivalent to |・|, or |・|∗ is equivalent to |・|p.[1]
Proof
略
外部ﾘﾝｸ:kotobank.jp
日本大百科全書(ニッポニカ) 「付値」valuation 足立恒雄
たとえば(0)=0,(x)=1 (x≠0)と定義すれば一つの付値が得られる。これを自明な付値という
Qを有理数体とし・・
有理数体の付値にはp進付値と自明な付値と絶対値しか（本質的には）存在しないことが知られている
252(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 05/13(火)07:36 ID:XUAoQ/gK(2/3) AAS
>>238 追加
昔高校時代に「大学への数学」のコラムに、『牛刀を用いてニワトリを割く』についての記事があったのです
要するに、大学数学の大定理で、高校数学の問題を解くことができる
逆に、大学入試が しばしば 大学数学の大定理の簡単な系で 高校レベルでできるものに落として出題しているという
さて、下記の 付値体 ja.wikipedia 完備化の項に
『任意の付値体 (K, |・|) に対して、完備体は付値体として同型[3]を除いて唯一存在する』
という大定理があります
この大定理から、有理数Qの ”通常の付値”で完備体が存在して（いまこれをRとする） 同型を除いて唯一
だと言えるのです
Terence Tao>>6 の “big picture”ふうに言えば
「Qから成るコーシー列を 全部添加した体Rが存在して 完備体になる。それは同型を除いて唯一」
となる
Rの存在は、”付値体の大定理で保証”されているのです
某名誉教授は、このような “big picture”を 背景に語っているのでしょうね、多分 （＾＾
学部1年で詰んで、付値体の“big picture”を知らないオチコボレさんたちが
へんな インネンを付けている気がしますｗ ；ｐ）
(参考)
外部ﾘﾝｸ:dictionary.goo.ne.jp
dictionary.goo
牛刀割鶏の解説 - 学研 四字熟語辞典
ぎゅうとうかっけい【牛刀割鶏】
小さなことを処理するのに、大げさな手段を用いることのたとえ。
注記
大きな牛刀で小さな鶏をさばくの意から。「牛刀ぎゅうとうもて鶏にわとりを割さく」と読み下す。
出典『論語ろんご』陽貨ようか
用例
略 これは少し牛刀鶏を割さく嫌きらいがある。〈森鷗外・独身〉
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
付値体
付値体
(K, |・|) に対して、乗法付値
|・| がアルキメデス付値であるとき、アルキメデス付値体、非アルキメデス付値のとき、非アルキメデス付値体という。
付値体の位相体としての性質は、項目位相体を参照のこと。
完備化
任意の K のコーシー列が K 内の点に収束するとき、K は完備であるといい、このとき
(K, |・|) を |・| に対する完備体という。
1〜4項略す
任意の付値体 (K, |・|) に対して、完備体は付値体として同型[3]を除いて唯一存在する。
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Valuation (algebra)
283(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 05/13(火)23:50 ID:XUAoQ/gK(3/3) AAS
大阪大学 新総長 熊ノ郷 淳 氏
実は、数学者 熊ノ郷 準(ヒトシ)氏のご子息だとか
下記「擬微分作用素」が、昔ちょっと面白そうと思ったが
結局買わなかったのだが
そのご子息が 阪大総長ね
(参考)
外部ﾘﾝｸ[html]:www.osaka-u.ac.jp
大阪大学
ようこそ総長室へ
熊ノ郷 淳 総長プロフィール
（くまのごう あつし） 昭和41年5月31日（58歳）
大阪教育大学教育学部附属高等学校卒業後、
1985年大阪大学医学部医学科入学、
1991年同卒業。
1997年大阪大学大学院医学研究科博士課程内科系専攻修了(医学博士）。
大阪大学微生物病研究所助手、同研究所助教授を経て、2006年同研究所教授。翌年から5年間大阪大学免疫学フロンティア研究センター教授へ学内派遣され、その後、同大学院医学系研究科教授、大阪大学副理事、同医学系研究科長・医学部長、大阪大学総長参与、国立大学法人大阪大学経営協議会委員を歴任し、
2025年4月に第19代大阪大学総長に就任。その間、日本学術会議連携会員、大阪府医療対策協議会委員、文部科学省ライフサイエンス委員会委員、同今後の医学教育の在り方に関する検討会委員、同科学技術・学術審議会専門委員、科学技術振興機構戦略的創造研究推進事業研究主監（ライフサイエンス系統括)、アステラス病態代謝研究会理事長、日本免疫学会理事、日本医学会連合理事、全国医学部長病院長会議副会長など多くの委員・学会理事等を歴任。2017年には大阪大学栄誉教授の称号が付与されている。
外部ﾘﾝｸ[html]:www.iwanami.co.jp
岩波
数学選書
擬微分作用素（単行本）
熊ノ郷 準 著
1974/10/30
この本の内容
線形偏微分方程式の研究に不可欠な擬微分作用素理論．難解とされる本理論も，その基本部分は，微積分法とフーリエ変換の初等理論によって十分説明されると著者は主張する．その視点が生かされた好著．
外部ﾘﾝｸ[html]:www.kyoritsu-pub.co.jp
共立出版
熊ノ郷 準クマノゴウ ヒトシ
偏微分方程式
発売日：
1978年06月30日
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