純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）20

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408: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/30(金) 11:48:44.92 ID:R7MP2UcH

>>407
ID:tEOSw+fR は、御大か

あっちのスレで
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738535596/330 複素解析5
に レスつけておきました

さて
”逆問題 木村建次郎”関係>>406
の実用的な話で、木村建次郎氏以前を書くと

１）いま、世間で 普通に使われる 断層画像（CT）の技術が
　ビートルズと関連していて ノーベル賞（1979年）を取ったことを知る人は少ないだろう
２）CTは、主に デジタル画像処理で 高速フーリエ変換(FFT)がその数学の基礎になっているのです（数値計算ですね）

で、ここからは 私の推測ですが 木村建次郎は
　単なる数値計算 → 解析解を求めて そこから 新しい 画像処理の開発をした
ということなのでしょうね（詳しくは分からないのですが）

(参考)
https://www.tmhp.jp/kikou/iryokenkou/minnanoiryokenkou_column_ctscan.html
東京都立病院機構 CTとビートルズの意外な関係 令和7年4月16日
　CTは、Computed Tomographyの略で、X線を使って体の内部を詳しく撮影する装置です。通常のレントゲン検査は、一方向からしか体を映せませんが、CTは360度あらゆる角度からX線を当てて、コンピュータで断層画像（輪切り画像）を再構成します。これにより、内臓や血管、骨の状態をより詳しく確認でき、立体的な画像を作ることもできます。

CTの登場によって、脳の病気やがん、骨折、出血などの診断精度が飛躍的に向上し、早期発見や治療に大きく貢献しました。この画期的な技術を開発したのはイギリスの技術者、ゴッドフリー・ハウンズフィールドです。彼はこの功績により、1979年にノーベル賞を受賞しました。

EMIとビートルズ、そしてCTのつながり
CTの開発には、イギリスの音楽会社EMIが関わっていました。EMIは、ビートルズが所属していたレコード会社としても有名ですが、実は医療技術にも深く関わっていたのです。

1960年代、ビートルズは「サージェント・ペパーズ・ロンリー・ハーツ・クラブ・バンド」や「アビー・ロード」などのアルバムを発表し、世界中で大ヒットを記録しました。その結果、EMIは莫大な利益を得ることになります。

当時のEMIは音楽だけでなく、技術開発にも力を入れており、医療や軍事関連の研究も行っていました。その技術部門に所属していたのがゴッドフリー・ハウンズフィールドでした。彼はCTの研究を進めていましたが、開発には多額の資金が必要でした。そこで、EMIはビートルズの音楽で得た利益の一部を、ハウンズフィールドのCT開発の研究資金として提供したのです。

EMIの資金提供によって、ハウンズフィールドはCTの開発を加速させ、1970年代には、CTが病院で実際に使われるようになりました。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745503590/408

409: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/30(金) 12:03:57.50 ID:R7MP2UcH

>>408
追加参考

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%88%E3%83%A2%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%95%E3%82%A3%E3%83%BC
トモグラフィー（英: tomography）[1][2][3][4][5][6][7][8][9][10][11][12][注釈 1][注釈 2]は、物理探査、医療診断等で用いられる逆解析技術の一つ。日本語訳は、断層映像法または断層影像法である。コンピュータを用いて処理することで、画像を構成する技術はコンピュータ断層撮影と呼ばれる。

その多くは、対象領域を取り囲む形で、走査線（線源と検出器）を配置し、内部の物性（音速、比抵抗、音響インピーダンス、密度など）の分布を調べる技術である。評価したい対象物によって、X線CT、地震波トモグラフィー、海洋音響トモグラフィーなどと呼ばれている。

画像再構成アルゴリズム
CT画像再構成法は解析的再構成法、代数的再構成法、統計的再構成法に大別され、逆投影法は解析的再構成法に分類され、逐次近似画像再構成法は代数的再構成法と統計的再構成法に分類される[1][13]。 これまでCT画像再構成法の主流はフィルタ補正逆投影法（filtered back projection：FBP法）であったが、近年では画像ノイズ低減効果やアーチファクト低減効果が期待される逐次近似画像再構成法（iterative reconstruction：IR法）が増えつつある[1][13]。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%AB%98%E9%80%9F%E3%83%95%E3%83%BC%E3%83%AA%E3%82%A8%E5%A4%89%E6%8F%9B
高速フーリエ変換（こうそくフーリエへんかん、英: fast Fourier transform, FFT）は、離散フーリエ変換（英: discrete Fourier transform, DFT）を計算機上で高速に計算するアルゴリズムである。高速フーリエ変換の逆変換を逆高速フーリエ変換（英: inverse fast Fourier transform, IFFT）と呼ぶ。

応用
・フーリエ変換NMR
核磁気共鳴 (NMR) スペクトルを得るために使用される。
・コンピュータ断層撮影 (CT)、核磁気共鳴画像法 (MRI) 等
受像素子を360度回転させながら連続撮影した映像をフーリエ変換する事により、回転面の透過画像を合成する。

歴史
高速フーリエ変換といえば一般的には1965年、ジェイムズ・クーリー（英語版） (J. W. Cooley) とジョン・テューキー (J. W. Tukey) が発見した[1] とされているクーリー–テューキー型FFTアルゴリズム（英語版）のことをさす[7]。同時期に高橋秀俊がクーリーとテューキーとは全く独立にフーリエ変換を高速で行うためのアルゴリズムを考案していた[8]。しかし、1805年頃に既にガウスが同様のアルゴリズムを独自に発見していた。それは彼の没後に刊行された全集に収録されている[9]（本ページの外部リンク先に同じ文章PDFへのリンクがある）。ガウスの論文以降、地球物理学や気候や潮位解析などの分野などで測定値に対する調和解析は行われていたので、計算上の工夫を必要とする応用分野で受け継がれていたようである

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745503590/409

412: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/30(金) 13:49:03.28 ID:R7MP2UcH

>>410 補足

下記の 木村建次郎氏の 観測データを境界値として使って 方程式の解を求める話を見て
”Ohsawa–Takegoshi L2 extension theorem”を連想した
次元の低い境界における値から、次元の高い 内部の値を求めることができるってことか

(参考)
https://note.com/honest_murre2984/n/n3408815f05d0
note.com ano
2025年5月1日
逆散乱場理論-「波動散乱の逆問題」の解析解を世界で初めて導出した木村建次郎博士の論文を読む

出典論文2
https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/handle/2433/265584
Kyoto University Research Information Repository: Inverse Scattering filed theory (Recent developments on inverse problems for partial differential equations and their applications)
repository.kulib.kyoto-u.ac.jp
発行日:  Jun-2021
出版者:  京都大学数理解析研究所
誌名:  数理解析研究所講究録

1.4 画像再構成：境界条件を使って方程式を解く
1)境界条件の設定: 実際にセンサー（アンテナ）を設置した曲面上で測定した散乱データ（送受信した波のデータ）を使います。これが、偏微分方程式を解くための「境界条件」となります。境界条件とは、方程式を解く領域の「端っこ」での情報のことです。この情報が、方程式の解を特定するための重要な手がかりになります。
2)方程式の解法: 設定した境界条件のもとで、高次元空間の偏微分方程式を解きます。

2.2. 偏微分方程式の演算子Lの導出 (Derivation of L)
https://assets.st-note.com/img/1746073837-pqBbDukGhQWzf3MRVxyPrLcJ.jpg
図２ 波動散乱の逆問題におけセンサーアレイ（送信・受信アンテナの配列）の構成と観測の仕組み

この図では、送信点 r1 と受信点 r2 が、曲面上（断面曲線）に沿って配置されており、センサーアレイ全体がx軸方向に移動しながら観測を行う様子が描かれています。
この構成により、さまざまな位置・角度から波を送信・受信でき、領域内の散乱体（物体内部の構造）を多角的に計測できます。

図2の要点まとめ
センサーアレイ（送信・受信アンテナ）が曲面上に並ぶ。
アレイ全体がx軸方向に移動し、多様な位置・角度から観測。
各アンテナペア（r1,r2）ごとに信号 G(r1,r2,t) を記録。
観測信号は理論式の「境界条件」として利用。
境界条件を使い、領域内部の情報を再構成する。

境界条件
数式（偏微分方程式）を解く際に、領域の端（この場合はセンサーアレイの位置）で与えられる値や条件。観測データがこれに当たる。
(引用終り)

https://en.wikipedia.org/wiki/Ohsawa%E2%80%93Takegoshi_L2_extension_theorem
Ohsawa–Takegoshi L2 extension theorem
In several complex variables, the Ohsawa–Takegoshi L2 extension theorem is a fundamental result concerning the holomorphic extension of an
L2 holomorphic function defined on a bounded Stein manifold (such as a pseudoconvex compact set in
Cn of dimension less than n) to a domain of higher dimension, with a bound on the growth.
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745503590/412

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