[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）20 (1002ﾚｽ)
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755: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 06/30(月)10:06 ID:OzgV+bVQ(1/3) AAS
>>753
死狂幻調教大師S.A.D.@月と六ベンツさん
いつもありがとうございます。
スレ主です
今後ともよろしくお願いいたします。
757(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 06/30(月)10:56 ID:OzgV+bVQ(2/3) AAS
>>754
おサルか>>5
いつも、独り言
ごくろうさんｗ ；ｐ）
766(5): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 06/30(月)17:20 ID:OzgV+bVQ(3/3) AAS
>>760
>定義より帰納的集合は
>{},{{}},{{},{{}}},{{},{{}},{{},{{}}}},・・・
>を元として含む。
>無限集合を含むとは限らないわけですな。
ご苦労様です
結論から言えば、Yesだが・・
補足すると
１）公理的集合論の立場と、日常数学（含む素朴集合論）の立場とあって
例えばZFCの公理的集合論の立場は、無限集合は 公理として認めるべしだが
一方、公理的集合論以前のカントールやデデキントは、無限集合を素朴に認めていたのです
（だが、ラッセルのパラドックが見つかり、素朴集合論を制限して 公理化しようとなった）
２）少し掘り下げると、{},{{}},{{},{{}}},{{},{{}},{{},{{}}}},・・・
の極限として 素朴に無限を考えることは 正当化できる
例えば、下記一点コンパクト化の例 として、N に最大元 ω を付け加える
この ωが、公理的集合論におけるノイマン構成のω＝Nであることは、周知のとおり
３）ところが、問題は 公理として考えた場合、ω＝N として与えなければ ならないのだが
つまり、ω＝Nは極限順序数であって、ω＝Nには前者が存在しない。即ち、前者に後者関数を適用してもダメなのです
４）そこで単純には、一点コンパクト化 ω＝Nの存在を公理とすることを思いつくだろう
５）しかし、先を見ると カントールの順序数全部を公理的集合論に取り込みたいのだ
ω＝Nを含む 無限集合たる カントールの順序数全体を公理として認めてしまう、この方がスッキリなのです
そうノイマンは考えた。だから、いまのような 無限公理の設定になっているのです（下記）
だから、公理的集合論で無限公理を認めない立場では、無限集合は含まない
公理的集合論でも無限公理を認める立場では、無限集合は含む（そして、素朴集合論はこちらです）
(参考)
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
コンパクト化
一点コンパクト化の例
自然数全体（離散位相）
N の一点コンパクト化は
N に最大元 ω を付け加えた順序集合
N∪{ω} の順序位相と同相になる。
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
無限公理
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Axiom of infinity （注：こちら英文の方が 詳しいのでお勧めです）
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