純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）20

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578: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/06/15(日) 21:38:55.71 ID:lv2xCBEK

>>573
>>ここに Aは無限公理により存在する集合を任意に（全て "∀"）選んだものである
>まずここが間違い。
>任意に選んだものとは「いずれか一つ」であって「全て」ではない。

ふっふ、ほっほ 下記を百回音読してね
（余談ながら、"∀"は英語で all もあり anyでもある）
https://manabitimes.jp/math/1274
高校数学の美しい物語
全称記号（任意の〜）と存在記号（ある〜）について  2021/03/07
「任意の」とは「全ての」という意味です。
∀ という記号を使って表すことがあります。
この記事では，数学でよく使う「任意の」と「ある」という言葉，そしてそれらを表す記号
∀ ，∃ について解説します。
「任意の」の意味と記号
「任意の」とは「全ての」という意味です。例えば，
(引用終り)

>>問題は、無限公理により存在する集合全て "∀"が、きちんと定義できているのか？ だ
>つまり無限公理は公理に非ずと言いたいの？　だって無限公理がどんな集合の存在を謳ってるか不明なんでしょ？　「なんか分からん集合が存在する」は命題になり得ないよね？　よって公理になり得ないよね？

ふっふ、ほっほ 下記 無限公理を百回音読してね
即ち、無限公理が主張する集合は、有限集合でない＝真の無限集合 の”存在”を保証するのだが
その集合（下記ではA）の性質は一切規定されていない。一方で我々が欲しいのは、まず最小の無限集合たる 自然数Nだ
だが、”自然数”という用語を用いて 無限集合Nを規定すことは、公理的集合論としてはまずい
公理的集合論として、そこをひと工夫したのが、>>569 筑波大 坪井明人 PDF P9だろう

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90%E5%85%AC%E7%90%86
無限公理
略
解釈と帰結
上記定義では「無限」という言葉は用いられていないが、この公理によって（少なくとも1つの）無限集合の存在が保証されることになる。
まず定義中の集合
A は以下の性質を満たすことを確認できる。
略
従って A は有限集合ではない（すなわち無限集合である）ため、無限公理を採用すれば直ちに無限集合の存在を認めることになる。
上記の手続きはペアノの公理における自然数の構成方法と同様である。ZFC公理系において、自然数全体の集合は無限集合の中で最小のものである。（可算集合）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745503590/578

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