雑談はここに書け！【６７】 (459ﾚｽ)
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401(3): 09/28(日)17:47 ID:fvkQNaSZ(1/13) AAS
π^π を代数的数と仮定する
π＞1 から π^π は正の実数だから、π^π に対して
或る実代数的数aが存在して π^π＝a であって a＞π＞1＞0 であるから π＝a^{1/π} である
π^π＝a なることに注意して、確かに a＞1 なる実数aに対して
定義される実変数xの指数関数 f(x)＝a^x を考えれば a＞π だから π＝a^{1/π}＞π^{1/π} である
πは無理数であって、πの
π＝4Σ _{k=0,1,…,+∞}(((‐1)^k)/(2k＋1))
＝4−Σ _{k=1,2,…,+∞}(2/((2k＋1)(2k＋3)))
なる有理級数による表示に注意すれば、πに対して、
或る M(π)＞1 なる有理数 M(π) が存在して、
M(π) を M(π)＝4 とすれば、無理数πに収束する各項が正なる
単調減少な有理数列 {b_n} ∀b_n＜M(π) は存在する
402(4): 09/28(日)17:49 ID:fvkQNaSZ(2/13) AAS
π＜a＜M(π)＝4 なる有理数aを任意に取る
有理数列 {b_n} ∀b_n＜M(π)＝4 は無理数πに収束し
各項が正なる単調減少列であるから、π＜a＜M(π)＝4 なる
有理数aに対して或る正の整数 N(a) が存在して、
有理数列 {b_n} ∀b_n＜N(a) の第n項について n≧N(a) のとき π＜b_n＜a である
正の整数nを任意に取れば、nに対して定義される
実数列 {b_n} の第n項 b_n 、第n+1項 b_{n+1}は両方共に有理数だから、
nに対して b_{n+1} の b_n 乗列 c(n) が定義されて c(n)＝(b_{n+1})^{b_n} とおくことが可能である
有理数列 {b_n} ∀b_n＜M(π)＝4 はπに収束し各項が正なる単調減少列だから、
実数列 {b_{n+1}^{b_n}} は π^π に収束する単調増加な実代数的数の列である
有理数aは π＜a＜M(π)＝4 を満たすから、m≧N(a) なる正の整数mを任意に取れば、
有理数列 {b_n} ∀b_n＜M(π) の第m項 b_m、第(m+1)項 b_{m+1} について
π＜b_{m+1}＜b_m＜a であって、π＞1 から確かに (b_{m+1})^{b_m}＞1 である
よって、m≧N(a) のとき、1/a＜1/(b_{m+1})＜1/((b_{m+1})^{b_m})＜1 であって、(b_{m+1})^{b_m}＜a である
π＜a＜M(π)＝4 なる有理数aは任意であるから、a→π とすれば、(b_{m+1})^{b_m}≦π である
403(2): 09/28(日)17:50 ID:fvkQNaSZ(3/13) AAS
(>>401-402 の続き)
m→+∞ とすれば b_{m+1}→π かつ m→+∞ とすれば b_m→π であるから、
m≧N(a) なる正の整数mについて m→∞ とすれば (b_{m+1})^{b_m}→π^π であって π^π≦π を得る
しかし、π^π≦π なることは π^π＞π なることに反し矛盾する
この矛盾は、π^π を代数的数と仮定したことから生じたから、
背理法が適用出来て、背理法を適用すれば、π^π は超越数である
404(1): 09/28(日)17:57 ID:fvkQNaSZ(4/13) AA×
405(1): 09/28(日)18:01 ID:fvkQNaSZ(5/13) AAS
同様に考えて一般化する
a、bを a＞1、b＞1 なる無理数であるとする
aに対して或る (M_1)(a)＞a なる有理数 (M_1)(a) が存在して、
実数aに収束する単調減少な有理数列 {a_n} ∀a_n＜(M_1)(a) が存在するとする
bに対して或る (M_2)(b)＞b なる有理数 (M_2)(b) が存在して、
実数bに収束する単調減少な有理数列 {b_n} ∀b_n＜(M_2)(b) が存在するとする
このとき、a^b、b^a は両方共に超越数である
故に、a＝π、b＝e とすれば、π＞e＞1 であって π^e は超越数である
406(1): 09/28(日)18:10 ID:fvkQNaSZ(6/13) AAS
>>401の下から3行目について：
或る M(π)＞1 なる有理数 M(π) が存在して、
→ 或る M(π)＞π なる有理数 M(π) が存在して、
409(1): 09/28(日)18:39 ID:fvkQNaSZ(7/13) AAS
>>402の下から2行目：
よって、m≧N(a) のとき、1/a＜1/(b_{m+1})＜1/((b_{m+1})^{b_m})＜1 であって、(b_{m+1})^{b_m}＜a である
π＜a＜M(π)＝4 なる有理数aは任意であるから、a→π とすれば、(b_{m+1})^{b_m}≦π である
→ よって、m≧N(a) のとき、1/a＜1/(b_{m+1})＜1/((b_{m+1})^{1/(b_m}))＜1 であって、
(1/a)^{b_m}＜(1/b_{m+1})^{b_m}＜1 から (b_{m+1})^{b_m}＜a^{b_m} である
π＜a＜M(π)＝4 なる有理数aは任意であるから、
a→π とすれば、(b_{m+1})^{b_m}≦π^{b_m} であって、b_{m+1}≦π である
しかし、b_{m+1}≦π なることは π＜b_{m+1} なることに反し、矛盾する
この矛盾は、π^π を代数的数と仮定したことから生じたから、
背理法が適用出来て、背理法を適用すれば、π^π は超越数である
410: 09/28(日)18:42 ID:fvkQNaSZ(8/13) AAS
>>409の訂正は
>>402の下から2行目以降>>403の訂正も含む
413: 09/28(日)18:51 ID:fvkQNaSZ(9/13) AAS
>>411
任意の正の実数εに対して或る正の整数 N(ε) が存在して…
というような書き方に則って、ごく普通の書き方をしただけだが
415(1): 09/28(日)18:57 ID:fvkQNaSZ(10/13) AAS
>>414
特に、他人からの添削は求めてない
416: 09/28(日)18:59 ID:fvkQNaSZ(11/13) AAS
解析だとああいう厄介な議論はごく普通に行われる
419: 09/28(日)19:09 ID:fvkQNaSZ(12/13) AAS
>>417
数理論理が絡む話ではない訳で、自分で自らの証明の正しさの確認は出来る
420: 09/28(日)19:11 ID:fvkQNaSZ(13/13) AAS
>>418
そんな話知らん
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