高校数学の質問スレ（医者・東大卒専用） Part438

高校数学の質問スレ（医者・東大卒専用） Part438 (991ﾚｽ)
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357(1): 2024/12/01(日)10:07 ID:URtmhVxU(1/7) AAS
f(x,y)= x^y+y^x
0 <= x <= 1 かつ　0 <= y <= 1
とする
(1) z=f(x,y)を図示せよ
例　画像ﾘﾝｸ

(2) z=f(x,y)とx-y平面で囲まれた図形の体積を求めよ
(3) z=f(x,y)の面積を求めよ（有効数字3桁の近似値でよい）

358: 2024/12/01(日)10:09 ID:URtmhVxU(2/7) AAS
f(x,y)= x^y+y^x
0 <= x <= 1 かつ　0 <= y <= 1
とする
(1) z=f(x,y)を図示せよ
例　画像ﾘﾝｸ

(2) z=f(x,y)とx-y平面で囲まれた図形の体積を求めよ
(3) z=f(x,y)の面積を求めよ（有効数字3桁の近似値でよい）

R

f=Vectorize(\(x,y) x^y + y^x)
g=\(x) integrate(\(y) f(x,y),0,1)$value
g=Vectorize(g)
integrate(g,0,1)
log(4)

fx=D(expression(x^y+y^x),'x')
fy=D(expression(x^y+y^x),'y')
fa=\(x,y) sqrt(1+eval(fx)^2+eval(fy)^2)
fa=Vectorize(fa)
ff=\(x) integrate(\(y) fa(x,y),0,1)$value
ff=Vectorize(ff)
integrate(ff,0,1)

Wolfram
f[x_,y_]:= x^y + y^x
Integrate[f[x,y],{x,0,1},{y,0,1}]
ff[x_,y_]:=Sqrt[1+D[f[x,y],x]^2+D[f[x,y],y]^2]
NIntegrate[ff[x,y],{x,0,1},{y,0,1}]

360: 2024/12/01(日)13:24 ID:URtmhVxU(3/7) AAS
ナルシシスト数（ナルシシストすう、英: narcissistic number）とは、n 桁の自然数であって、その各桁の数の n 乗の和が、元の自然数に等しくなるような数をいう。
例えば、1^3 + 5^3 + 3^3 = 153 であるから、153 はナルシシスト数である。
....
十進法に限らず、他の基数においても同様にナルシシスト数を定義できる

問題　
16進法で4桁までのナルシスト数は何個あるか？
すべて列挙せよ。

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, a, b, c, d, e, f, 156, 173, 208, 248, 285, 4a5, 5b0, 5b1,

> 60b, 64b, 8c0, 8c1, 99a, aa9, ac3, ca8, e69, ea0, ea1, b8d2}

hex[x_]:= ResourceFunction["HexConvert"][x]
NaruQ[s_]:=(
d=hex /@ StringSplit[s,""];
le=Length[d];
hex@Total[d^le] == s
)
solve[start_:"1",end_:"fff"]:=(
h=hex /@ Range[hex[start],hex[end]];
Select[h,NaruQ]
)
solve["10000","fffff"]

{13579, 2b702, 2b722, 5a07c, 5a47c, c00e0, c00e1, c04e0, c04e1, c60e7, c64e7, c80e0,

> c80e1, c84e0, c84e1, de030, de031, de430, de431, eb7c2, fb06a, fb46a, fc276}

361(1): 2024/12/01(日)16:43 ID:URtmhVxU(4/7) AAS
(* decimal integer to b-based digits 10進法ｘをｂ進法表記の文字リストに返還*)
i2d[x_,b_:16] :=(
digits=Flatten@{"0","1","2","3","4","5","6","7","8","9",Alphabet[]};
r=List@Mod[x,b];
q=Floor[x/b];
While[q > 0,PrependTo[r,Mod[q,b]];q=Floor[q/b]];
digits[[r+1]]
)

(* b-based digits to decimal integer ｂ進法表記文字列xを10進法の数に返還 *)
d2i[x_,b_:16] :=(
tonum[char_]:=(
digits=Flatten@{"0","1","2","3","4","5","6","7","8","9",Alphabet[]};
Position[digits,char][[1]][[1]]-1
);
ss=StringSplit[x,""];
d10=tonum /@ ss;
le=Length@ss;
Table[(Reverse@d10)[[i]]*b^(i-1),{i,1,le}]//Total
)
(* ハーシャッド数（ハーシャッドすう、英: harshad number）とは、自然数の各位の数字和が元の数の約数に含まれている自然数である。*)
harshadQ[n_,b_] := Divisible[n,Total[d2i[#,b]&/@i2d[n,b]]]
solve[start_:"1",end_:"ff",b_] :=(
li=Select[Range[d2i[start,b],d2i[end,b]],harshadQ[#,b]&];
re=i2d[#,b]& /@ li;
StringJoin /@ re
)

363(1): 2024/12/01(日)19:45 ID:URtmhVxU(5/7) AAS
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.orgレイランド数

レイランド数（レイランドすう、英: Leyland number）は、数論において次の形で表される数
x^y + y^x
x と y は1より大きい整数
....
また加算の交換性のために x ≥ y の条件は通常レイランド数の重複をさけるために加えられる。(よって 1 < y ≤ x を用いる)

外部ﾘﾝｸ:oeis.orgに
8, 17, 32, 54, 57, 100, 145, 177, 320, 368, 512, 593, 945, 1124, 1649, 2169, 2530, 4240, 5392, 6250, 7073, 8361, 16580, 18785, 20412, 23401, 32993, 60049, 65792, 69632, 93312, 94932, 131361, 178478, 262468, 268705, 397585, 423393, 524649, 533169
が例示されている。

問題　各々のレイランド数についてx,yを求めよ。1 < y ≤ x とする。

想定解

{{2, 2, 8}, {3, 2, 17}, {4, 2, 32}, {3, 3, 54}, {5, 2, 57}, {6, 2, 100}, {4, 3, 145},

> {7, 2, 177}, {8, 2, 320}, {5, 3, 368}, {4, 4, 512}, {9, 2, 593}, {6, 3, 945},

> {10, 2, 1124}, {5, 4, 1649}, {11, 2, 2169}, {7, 3, 2530}, {12, 2, 4240},

> {6, 4, 5392}, {5, 5, 6250}, {8, 3, 7073}, {13, 2, 8361}, {14, 2, 16580},

> {7, 4, 18785}, {9, 3, 20412}, {6, 5, 23401}, {15, 2, 32993}, {10, 3, 60049},

> {16, 2, 65792}, {8, 4, 69632}, {6, 6, 93312}, {7, 5, 94932}, {17, 2, 131361},

> {11, 3, 178478}, {18, 2, 262468}, {9, 4, 268705}, {7, 6, 397585}, {8, 5, 423393},

> {19, 2, 524649}, {12, 3, 533169}}

364: 2024/12/01(日)20:07 ID:URtmhVxU(6/7) AAS
>>363
レイランド素数はレイランド数でもあり素数でもある数。
外部ﾘﾝｸ:oeis.org
に例示してある最大の数は
5052785737795758503064406447721934417290878968063369478337
である。

問題
(1)　次に続く数字を求めよ
(2) その次に続く数字を求めよ。

365: 2024/12/01(日)20:08 ID:URtmhVxU(7/7) AAS
想定解

205688069665150755269371147819668813122841983204711281293004769,

3329896365316142756322307042065269797678257903507506764421250291562312417,

おまけ
814539297859635326656252304265822609649892589675472598580095801187688932052096060144958129

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