高校数学の質問スレ（医者・東大卒専用） Part438

高校数学の質問スレ（医者・東大卒専用） Part438 (991ﾚｽ)
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11(1): 2024/08/11(日)08:40 ID:y6yg1Hhb(1/6) AAS
(*
三角形ABCがある　底辺BCがBC,∠AがaA,∠CがaCの時,この三角形の面積はいくつ？
*)
AreaABC[BC_:4,aA_:Pi/4,aC_:Pi/8] :=(
f[x_]:=(
pB={0,0};
pC={BC,0};
pA={x,-Tan[aC](x-BC)};
ABC=Triangle[{pA,pB,pC}];
TriangleMeasurement[ABC,{"InteriorAngle",pA}]
);
x0 = ( x /. Solve[f[x]==aA,{x}][[1]][[1]]);
pA={x0,-Tan[aC](x0-BC)};
Area[Triangle[{pA,pB,pC}]] // Simplify
)
AreaABC[]

12(1): 2024/08/11(日)13:29 ID:y6yg1Hhb(2/6) AAS
(* 三角形ABCで底辺BC=BC,∠A=aA,∠C=aCの時、この三角形の面積は？*)
calc[BC_:4,aA_:Pi/4,aC_:Pi/8] :=(
fn[x_]:=(
If[x==BC,Return[0]];
pB={0,0};
pC={BC,0};
pA={x,-Tan[aC](x-BC)};
ABC=Triangle[{pA,pB,pC}];
(aA-TriangleMeasurement[ABC,{"InteriorAngle",pA}])^2
);
x0 = x /. NMinimize[fn[x],x][[2]];
pB={0,0};
pC={BC,0};
pA={x0,-Tan[aC](x0-BC)};
Area[Triangle[{pA,pB,pC}]]
)
calc[]

13(1): 2024/08/11(日)16:40 ID:y6yg1Hhb(3/6) AAS
ComplexExpand[(1 + I)^(1 - I)]
Log[1+I] // ComplexExpand

14(2): 2024/08/11(日)16:45 ID:y6yg1Hhb(4/6) AAS
コロナ患者含めて新入院3人、２栄一ゲット。
基礎疾患のある高齢患者なのでベクルリーを３日開始。
肺炎までこじらせてから５日間使うという悪徳医がいるらしい。

15: 2024/08/11(日)18:05 ID:y6yg1Hhb(5/6) AAS
(*

e^iπ+1 = 0は美しい等式といわれるのにちなんだ計算問題

a,b,cは異なる数字でe(ネイピア数),i(虚数単位),π(円周率)のいずれかである。
（１）指数法則(a^b)^c = a^(b*c)が成立する組み合わせを列挙せよ。
（２）成立しない組み合わせで左辺と右辺の値を算出せよ。

*)

pm=Permutations[Range[3]];
x={I,E,Pi};
y={x[[#[[1]]]],x[[#[[2]]]],x[[#[[3]]]]}& /@ pm;
(#[[1]]^#[[2]])^#[[3]] == #[[1]]^(#[[2]]*#[[3]])& /@ y;
ts=Select[y,(#[[1]]^#[[2]])^#[[3]] == #[[1]]^(#[[2]]*#[[3]])&]
fs=Select[y,(#[[1]]^#[[2]])^#[[3]] != #[[1]]^(#[[2]]*#[[3]])&]

{(#[[1]]^#[[2]])^#[[3]], #[[1]]^(#[[2]]*#[[3]])}& /@ ts
% // ComplexExpand
% // N
{(#[[1]]^#[[2]])^#[[3]], #[[1]]^(#[[2]]*#[[3]])}& /@ fs
% // ComplexExpand
% // N

16: 2024/08/11(日)18:14 ID:y6yg1Hhb(6/6) AAS
(*
a,b,cは異なる数字でe(ネイピア数),i(虚数単位),π(円周率)のいずれかである。
（１）指数法則(a^b)^c = a^(b*c)が成立する組み合わせを列挙せよ。
（２）成立しない組み合わせで左辺と右辺の値を算出せよ。
*)
pm=Permutations[Range[3]];
x={I,E,Pi};
y={x[[#[[1]]]],x[[#[[2]]]],x[[#[[3]]]]}& /@ pm;
(#[[1]]^#[[2]])^#[[3]] == #[[1]]^(#[[2]]*#[[3]])& /@ y;
ts=Select[y,(#[[1]]^#[[2]])^#[[3]] == #[[1]]^(#[[2]]*#[[3]])&]
fs=Select[y,(#[[1]]^#[[2]])^#[[3]] != #[[1]]^(#[[2]]*#[[3]])&]

{(#[[1]]^#[[2]])^#[[3]], #[[1]]^(#[[2]]*#[[3]])}& /@ ts // ComplexExpand
{(#[[1]]^#[[2]])^#[[3]], #[[1]]^(#[[2]]*#[[3]])}& /@ fs // ComplexExpand // Simplify
% // N

17: 2024/08/11(日)21:48 ID:NHfolhNj(1) AAS
>>14
で、いつになったら無理数の証明ができるんだよチンパン

18: 2024/08/12(月)02:24 ID:F0Hc68tw(1/2) AAS
医者でも東大卒でもない尿瓶ジジイがなぜ書き込んでいるのか、一体質問はいつするのかww

19(1): 2024/08/12(月)04:53 ID:7Qwbx0VG(1/3) AAS
>>11-12
　aB = π − aA − aC,
∴　cot(aB) = − cot(aA+aC),

底辺BCは既知だから、高さが分かればよい。
頂点Aから対辺BCに垂線AHを下ろす。
　AH {cot(aB)+cot(aC)} = BH + HC = BC,　　(有向距離)
　AH = BC / {cot(aB) + cot(aC)},
　?ABC = (1/2)AH・BC
　　= (BC^2) / {2[cot(aB) + cot(aC)]}
　　= (BC^2) / {2[cot(aC)−cot(aA+aC)]},

20(1): 2024/08/12(月)05:21 ID:7Qwbx0VG(2/3) AAS
>>13
Log[1+i] = log(2)/2 + i(π/4) = -θ + i(π/4),
[1+i]^[1-i] = (1+i)*(1+i)^{-i}
　　= (1+i)*e^{π/4 +iθ},

e^{π/4} = 2.19328
θ =−log(2)/2 = −0.3465736

21(1): 2024/08/12(月)08:06 ID:N57DabL7(1/2) AAS
>>19
レスありがとうございます。
人間Wolframに感銘。

22(2): 2024/08/12(月)08:09 ID:N57DabL7(2/2) AAS
さて、そろそろ帰り支度をするかな。
今日は祝日なので内視鏡バイトなし。
まあ、新入院や救急搬送でインセンティブ２栄一ゲットしたので
m3から購入した。

i,e,π計算のメモ
(I^E)^Pi // ComplexExpand // Simplify
% // N
I^(E Pi) // ComplexExpand // Simplify
% // N
(I^Pi)^E // ComplexExpand // Simplify
% // N
I^(Pi E) // ComplexExpand // Simplify
% // N

23(1): 2024/08/12(月)08:10 ID:Obx9rvEn(1) AAS
>>21
人間Wolframってバカにしてるのでは

24: 2024/08/12(月)10:39 ID:F0Hc68tw(2/2) AAS
>>22
おい尿瓶ジジイいつになったら無理数の証明できるようになるんだよ

25(1): 2024/08/12(月)13:09 ID:OufDPFxO(1) AAS
>>22
おいもう息してないのか

26: 2024/08/12(月)21:05 ID:7Qwbx0VG(3/3) AAS
>>8
「（某大物棋士の）兄貴たちは頭が悪いから東大へ行った」
という話の出所は芹沢（博文）九段という人もいるが、怪しい…

27: 2024/08/14(水)14:46 ID:8WM1s01c(1) AAS
Reverse@Sort@Counts@IntegerDigits[2024!,7]

28(1): 2024/08/14(水)17:20 ID:jFZUZf8i(1/10) AAS
a + b + c = 1,
aa + bb + cc = 3,
a^6 + b^6 + c^6 = 3,

を解け

29: 2024/08/14(水)17:23 ID:jFZUZf8i(2/10) AAS
実解は
(a,b,c) = (-1,1,1)　(1,-1,1)　(1,1,-1)　

30: 2024/08/14(水)17:32 ID:jFZUZf8i(3/10) AAS
虚数解
　t^3 −t^2 −t +5 = 0,
　t = {−[2(31+3√105)]^{1/3} −[2(31-3√105)]^{1/3} + 1}/3,
　　=−1.594313016355
　[1-t ±ｉ√(t-2-15/t)]/2 = 1.2971565081774 ± 1.205625150603ｉ

31(1): 2024/08/14(水)18:19 ID:tCfOv5Df(1) AAS
1+2+…+2024は何桁の整数か

32(1): 2024/08/14(水)19:19 ID:jFZUZf8i(4/10) AAS
(a,b,c) が
　t = −1.594313016355
　[(1-t) ±ｉ√(-t-1)･√(5-3t)]/2 = 1.2971565081774 ± 1.205625150603ｉ
の順列である…

33: 2024/08/14(水)19:40 ID:qeuhkrG0(1) AAS
>>28
f[l_,m_,n_,a_,b_,c_] := Solve[x^l+y^l+z^l==a && x^m+y^m+z^m==b && x^n+y^n+z^n==c,{x,y,z}]
f[1,2,6,1,3,3]

34: 2024/08/14(水)19:49 ID:jFZUZf8i(5/10) AAS
a + b + c = 1,
aa + bb + cc = 3,
a^7 + b^7 + c^7 = 1,
を解け。

実数解は　(-1,1,1)　(1,-1,1)　(1,1,-1)

35: 2024/08/14(水)20:03 ID:jFZUZf8i(6/10) AAS
↑
虚数解
　t'^3 − t'^2 − t' + 4 = 0,
　t' = {−[(97+9√113)/2]^{1/3} −[(97-9√113)/2]^{1/3} + 1} /3
　　=−1.485584
　[(1-t’) ±ｉ√(-1-t')･√(5-3t')] /2 = 1.242792 ± 1.07145315ｉ

36: 2024/08/14(水)20:18 ID:jFZUZf8i(7/10) AAS
a + b + c = 1,
aa + bb + cc = 3,
a^8 + b^8 + c^8 = 3,
を解け。

実数解は　(-1,1,1)　(1,-1,1)　(1,1,-1)

37: 2024/08/14(水)20:23 ID:jFZUZf8i(8/10) AAS
↑
虚数解
　t^3 − t^2 − t + 11/5 = 0,
　t = {−[(121+9√161)/5]^{1/3} −[(121-9√161)/5]^{1/3} + 1}/3,
　　= −1.23930635
　[(1-t) ±ｉ√(-t-1)･√(5-3t)]/2 = 1.119653175 ± 0.7221934276ｉ

38(1): 2024/08/14(水)20:55 ID:jFZUZf8i(9/10) AAS
a + b + c = 1,
aa + bb + cc = 3,
a^3 + b^3 + c^3 = 1 + 3(1 -t -t^2 +t^3),

39(2): 2024/08/14(水)21:24 ID:jFZUZf8i(10/10) AAS
基本対称式：
　a + b + c = 1,
　ab + bc + ca = −1,
　abc = t(tt-t-1),

40(1): 2024/08/15(木)00:23 ID:zglV+U2W(1/4) AAS
(続き)
　S_0 = 1 + 1 + 1 = 3,
　S_1 = a + b + c = 1,
　S_2 = aa + bb + cc = 3,
　S_3 = 4 + 3t(tt-t-1),
漸化式
　S_n = S_{n-2} + S_{n-2} + (1/3) (S_3 - 4) S_{n-3},

そこで
　S_n = 1　となる奇数n
　S_n = 3　となる偶数n
をさがす。

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