[過去ﾛｸﾞ] 高校数学の質問スレ Part437 (1002ﾚｽ)
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452(1): 2024/07/30(火)09:41 ID:lS4piU/7(5/5) AAS
自作関数動作確認のための練習問題

カージオイド　r=1+cosθ　の重心の座標を算出せよ。

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456: 2024/07/30(火)12:53 ID:b0j0+YV5(1) AAS
>>452
1. 面積の計算

カージオイド r = 1 + cosθ の面積 S は、以下の公式で求められます。

S = (1/2) ∫[0, 2π] r^2 dθ

この式に r = 1 + cosθ を代入し、積分を実行すると、

S = (1/2) ∫[0, 2π] (1 + cosθ)^2 dθ
= (3/2)π

2. 重心座標の計算

極座標における重心のx座標Xとy座標Yは、以下の式で求められます。

X = (1/S) ∫[0, 2π] (r cosθ) (r^2/2) dθ
Y = (1/S) ∫[0, 2π] (r sinθ) (r^2/2) dθ

ここで、r^2/2 は面積要素を表しています。

これらの式に r = 1 + cosθ を代入し、積分を実行すると、

X = (1/S) ∫[0, 2π] (1 + cosθ)^3 cosθ dθ / 2
= 5/6
Y = (1/S) ∫[0, 2π] (1 + cosθ)^3 sinθ dθ / 2
= 0 （奇関数の積分なので0になる）

3. 答え

したがって、カージオイド r = 1 + cosθ の重心の座標は、

(X, Y) = (5/6, 0)

となります。

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