[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む83 (1002ﾚｽ)
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324(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2020/02/12(水)16:59 ID:Qa5sLjJG(13/17) AAS
>>323
おっちゃん、どうも、スレ主です。
>ID:NeiqDepY はオイラーの定数γが無理数だろうと予想している節がある可能性はあるが、
>ごく普通の背理法でγの有理性が示せているから、問題ない。ただ、計算が大変。
逆らうようで悪いが
私スレ主も、「オイラーの定数γが無理数だろうと予想している」んだ
証明は難しいらしく、いまだ数学界では予想だがね
「普通の背理法でγの有理性が示せているから」というと
”γのが無理数と仮定すると、矛盾が起きる”って筋になるけど
それ示すのは、かなり斬新なアイデアと理論が必要な気がするな
追伸
下記、オイラーの定数
γ：＝ lim n→∞ {（Σ k=1〜n（1/k） -ln(n)}
で、ｎ有限で、（Σ k=1〜n（1/k） は、有理数。ln(n)は無理数（超越数）。
有理数−無理数（超越数）＝無理数（超越数）
は自明。
それが、lim n→∞ で、有理数に収束することがイメージできない
イメージが貧弱と言われれば、その通りだが（＾＾；
（参考）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
オイラーの定数
γ：＝ lim n→∞ {（Σ k=1〜n（1/k） -ln(n)}
325: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2020/02/12(水)17:04 ID:Qa5sLjJG(14/17) AAS
>>324 補足
>で、ｎ有限で、（Σ k=1〜n（1/k） は、有理数。ln(n)は無理数（超越数）。
>有理数−無理数（超越数）＝無理数（超越数）
>は自明。
>それが、lim n→∞ で、有理数に収束することがイメージできない
逆パターンで
lim n→∞ で、有理数が、無理数に収束するのは、普通にあるが
”有理数−無理数（超越数）＝無理数（超越数）”で
lim n→∞ {（Σ k=1〜n（1/k） -ln(n)}だと、どうなのでしょうかね。イメージできない （＾＾；
327(1): 2020/02/12(水)17:21 ID:xOqnz3XM(14/15) AAS
>>324
証明は150行どころか250行は優に超える。300行以上はある筈。
376(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2020/02/13(木)12:11 ID:Di2gg/DV(1/5) AAS
>>324 補足
オイラーの定数の定義式の前半のΣ k=1〜n（1/k）は、いわゆる調和数 Hnであり
これのある予想（下記 Lagariasなど）が、Riemann Hypothesisと等価だという
（参考）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
オイラーの定数
γ：＝ lim n→∞ {（Σ k=1〜n（1/k） -ln(n)}
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Euler?Mascheroni constant
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
調和数 (発散列)
(抜粋)
数学において、n-番目の調和数（ちょうわすう、英: harmonic number）は 1 から n までの自然数の逆数和
H_n=1+1/2+ 1/3+・・・ + 1/n=Σ k=1〜n (1/k)
である。これは、1 から n までの自然数の調和平均の逆数の n-倍に等しい。
調和数は遥か昔から研究され、数論の各分野において重要である。調和数の極限は、調和級数と呼ばれ（しばしば調和数も含めて一口に調和級数と呼ぶこともある）、リーマンゼータ函数と近しい関係にあり、また種々の特殊函数のさまざまな表示に現れる。
外部ﾘﾝｸ[html]:mathworld.wolfram.com
Riemann Hypothesis
(抜粋)
By modifying a criterion of Robin (1984), Lagarias (2000) showed that the Riemann hypothesis is equivalent to the statement that
Σ(n)<=H_n+exp(H_n)lnH_n, (5)
for all n>=1, with equality only for n=1, where H_n is a harmonic number and sigma(n) is the divisor function (Havil 2003, p. 207).
画像ﾘﾝｸ
The plots above show these two functions (left plot) and their difference (right plot) for n up to 1000.
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.math.lsa.umich.edu
An Elementary Problem Equivalent to the Riemann Hypothesis JC Lagarias (July 29, 2001 version)
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
リーマンゼータ関数
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