[過去ログ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む83 (1002レス)
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262
(4): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2020/02/12(水)00:16 ID:8axgfTbD(3/19) AAS
>>260
>【コンパクト性定理】を否定するのは、無理ゲーでしょ(^^;

追加
外部リンク:www.math.tsukuba.ac.jp
ロジックの部屋
坪井明人 筑波大
外部リンク[pdf]:www.math.tsukuba.ac.jp
数理論理学II
第 2 章 モデル理論の基礎 21
2.1 構造と同型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 コンパクト性定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5 応用例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5.1 4色定理と無限地図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5.2 順序集合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

定理 53 (コンパクト性定理). T を閉論理式の集合とする.このとき次は同値
である:
1. T はモデルを持つ;
2. T の任意の有限部分集合 T0 はモデルを持つ.
証明. 1 ⇒ 2 は自明である.2 ⇒ 1 の対偶を示す.

2.5 応用例
2.5.1 4色定理と無限地図
平面内に書かれた有限個の国を持つ地図は,4色を用いて隣国が同じ色にな
らないように塗り分けられる( Kenneth Appel and Wolfgang Haken).実は
この4色定理は無限個の国を持つ地図でも成立する.このことはコンパクト性
定理を使うと簡単に分かる.

T がモデルを持つことを示せば十分である.コンパクト性定理により,T の
各有限部分がモデルを持つことを示せばよい.しかし,それは有限地図 (有限
グラフ) に対する4色定理から明らかである.
266
(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2020/02/12(水)00:47 ID:8axgfTbD(6/19) AAS
>>262
補足
(引用開始)
2.5 応用例
2.5.1 4色定理と無限地図
平面内に書かれた有限個の国を持つ地図は,4色を用いて隣国が同じ色にな
らないように塗り分けられる( Kenneth Appel and Wolfgang Haken).実は
この4色定理は無限個の国を持つ地図でも成立する.このことはコンパクト性
定理を使うと簡単に分かる.

T がモデルを持つことを示せば十分である.コンパクト性定理により,T の
各有限部分がモデルを持つことを示せばよい.しかし,それは有限地図 (有限
グラフ) に対する4色定理から明らかである.
(引用終り)

要するに、任意の有限地図 (有限グラフ) に対する4色定理から
コンパクト性定理により、「4色定理は無限個の国を持つ地図でも成立する」ってこと

だから、>>246より 任意の有限部分族が独立のとき→確率変数の無限族は独立
(「”確率変数の無限族の独立性の微妙さ”などと時枝氏は言ってるが,これは全くの的外れ」)
ってことです(^^;
280: 2020/02/12(水)06:07 ID:SjIye1YG(2/13) AAS
>>260-264
瀬田君は、確率における”コンパクト性定理”を証明したのかい?

似非専門家は何も証明できてないよ
0になる無限乗積持ち出した時点で無意味
346
(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2020/02/12(水)20:46 ID:8axgfTbD(15/19) AAS
>>291 <再まとめ>

時枝さん、あの記事で4つくらい外している
1つは、確率変数の無限族の独立性
スレ20 2chスレ:math
”確率変数の無限族の独立性の微妙さ”などと時枝氏は言ってるが,これは全くの的外れ
 根拠は、>>247のコンパクト性定理 外部リンク:ja.wikipedia.org
”一階述語論理の文の集合がモデルを持つこと(充足可能であること)と、その集合の任意の有限部分集合がモデルを持つことが同値であるという定理である。”
>>262より 無限地図の4色定理が、コンパクト性定理で証明できるよ )

も1つは、非可測の話
時枝さん、ヴィタリの話をしているが
本当は、ジムの数学徒氏(>>6)が言った下記なんだ
スレ80 2chスレ:math
”確率論の公理の要請に反してしまう”ってこと
>>215より 細かいが、実際使う同値類は有限個に過ぎないので、選択公理のフルパワーは必要としないことも附言しておく)

3つには、>>22 >>211 に書いているが、下記の<時枝記事の可算無限数列の数当て定理 ”もどき”>不成立
補強で、>>321 ”注意 4.8. この定理が証明されれば,最初から limn→∞ an = a の定義を,aω =〜 a が全ての
無限大超自然数 ω に対して成立する事としてもよい事になる.これは「数列の ∞ 番目がい
つも同じ数」という意味であり,より直感的な収束の定義である.”

つづく
749
(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2020/02/17(月)07:43 ID:tibq+GyR(5/10) AAS
>>746 補足

<ちょっと思いついたので書いておく>
さらに、時枝の可算無限数列のシッポの同値類は、それぞれ、共通のシッポを持つことが、コンパクト性定理から言える
証明の筋は、下記の”4色定理と無限地図”に同じ
つまり、同値類内の任意の有限部分を取ると、これらは共通のシッポを持つ(∵推移律)
よって、コンパクト性定理より、1つの同値類全体でも、共通のシッポを持つ
コンパクト性定理は、非可算集合に対しても成立する
QED

>>262より)
外部リンク:www.math.tsukuba.ac.jp
ロジックの部屋
坪井明人 筑波大
外部リンク[pdf]:www.math.tsukuba.ac.jp
数理論理学II
(抜粋)
第 2 章 モデル理論の基礎 21
2.2 コンパクト性定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5 応用例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5.1 4色定理と無限地図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
定理 53 (コンパクト性定理). T を閉論理式の集合とする.このとき次は同値
である:
1. T はモデルを持つ;
2. T の任意の有限部分集合 T0 はモデルを持つ.
証明. 1 ⇒ 2 は自明である.2 ⇒ 1 の対偶を示す.

2.5 応用例
2.5.1 4色定理と無限地図
平面内に書かれた有限個の国を持つ地図は,4色を用いて隣国が同じ色にな
らないように塗り分けられる( Kenneth Appel and Wolfgang Haken).実は
この4色定理は無限個の国を持つ地図でも成立する.このことはコンパクト性
定理を使うと簡単に分かる.
T がモデルを持つことを示せば十分である.コンパクト性定理により,T の
各有限部分がモデルを持つことを示せばよい.しかし,それは有限地図 (有限
グラフ) に対する4色定理から明らかである.

外部リンク:ja.wikipedia.org
コンパクト性定理
(抜粋)
歴史
1930年にゲーデルが可算集合の場合について証明した。非可算の場合については、Anatoly Maltsevが1936年に証明を与えた[1][2]。
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