現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む83

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246(4): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2020/02/11(火)22:02 ID:CB29Ozfy(9/13) AAS
前スレの下記、時枝に戻る
(引用開始)
スレ81 2chｽﾚ:math
964 自分返信：現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 投稿日：2020/02/09(日) 22:30:35.34 ID:XY5HcLEF [44/46]
それ、時枝先生の勘違いですよ
下記で、ばっさりやられています（テンプレ>>9 スレ20の確率論の専門家さん）
私は、下記を支持します
なお、この話、このスレで、私の能力では説明しきれないので、疑うなら>>531を実行してください
下記の通りだということが、はっきりしますよ（あるいは、大学教程の確率論テキストでも可（読めるなら））
（参考）
スレ20 2chｽﾚ:math
538 返信：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2016/07/03(日) 23:54:57.90 ID:f9oaWn8A [13/13]
うーん，正直時枝氏が確率論に対してあまり詳しくないと結論せざるを得ないな
>>6
>確率変数の無限族は，任意の有限部分族が独立のとき，独立，と定義されるから，(2)の扱いだ.
の認識が少しまずい．
任意有限部分族が独立とは
P(∀i=1,…n,X_i∈A_i)=Π[i=1,n]P(X_i∈A_i)ということだけど
これからP(∀i∈N,X_i∈A_i)=Π[i=1,∞]P(X_i)が成立する（∵n→∞とすればよい）
これがきっと時枝氏のいう無限族が直接独立ということだろう．
ということは(2)から(1)が導かれてしまったので，
「(1)という強い仮定をしたら勝つ戦略なんてあるはずがない」時枝氏の主張ははっきり言ってナンセンス
確率変数の独立性というのは，可算族に対しては(1)も(2)も同値となるので，
”確率変数の無限族の独立性の微妙さ”などと時枝氏は言ってるが，これは全くの的外れ
(引用終り)

ここ、私が確率論の専門家さんと呼ぶ人の証明だけど、これ本当は証明になっていないけど、時枝先生がすべっているという結論は妥当です（＾＾；
「確率変数の無限族は，任意の有限部分族が独立のとき，独立」は、後述のコンパクト性定理があるので、この”確率変数の無限族の独立性”の定義は、完璧に妥当です！
（「”確率変数の無限族の独立性の微妙さ”などと時枝氏は言ってるが，これは全くの的外れ」）

つづく

247(3): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2020/02/11(火)22:02 ID:CB29Ozfy(10/13) AAS
>>246
つづき

（参考）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
コンパクト性定理（英: Compactness theorem）とは、一階述語論理の文の集合がモデルを持つこと（充足可能であること）と、その集合の任意の有限部分集合がモデルを持つことが同値であるという定理である。
応用例
コンパクト性定理はモデル理論を含む様々な分野において多くの応用を持つ。例として、以下の定理や命題がコンパクト性定理を用いて証明される。
・上方レーヴェンハイム-スコーレムの定理
・実数や自然数の超準モデルの存在
・ロビンソンの原理(一階述語論理の文 φ が任意の標数 0 の体で成り立つならば、ある自然数 k が存在して、φは標数が k 以上のすべての体で成り立つ)
・国の数が無限である場合の四色定理[3]
・任意の順序集合が全順序に拡大できること [3]
証明
コンパクト性定理は、ゲーデルの完全性定理から導くことができる。実際、一階述語論理の文の集合Sがモデルを持たないとすると、完全性定理からSは矛盾していることになるが、どんな証明も長さは有限なので、矛盾の証明に現れるSの文は高々有限個である。よって、Sのある有限部分から矛盾が導出されること、つまりSは充足不可能な部分集合を持つことがわかる。これの対偶がコンパクト性定理である [3]。
この他にも、超積を用いた証明も知られている。
その他の論理体系におけるコンパクト性
命題論理における同様の結果は、位相空間論のチコノフの定理をストーン空間に適用することで得られる[4]。 en:Lindstrom's theoremは、コンパクト性定理と(下方)レーヴェンハイム-スコーレムの定理が一階述語論理を特徴づける性質であることを示している。高階述語論理においてもある種のコンパクト性は保持されているが、コンパクト性定理自体は成り立たない。

つづく

249: 2020/02/11(火)22:05 ID:yCL40qf3(40/44) AAS
>>246
その発言、無限乗積の使い方がナンセンスって
斬り捨てられたんじゃなかったでしたっけ？

266(1): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2020/02/12(水)00:47 ID:8axgfTbD(6/19) AAS
>>262
補足
(引用開始)
2.5 応用例
2.5.1 ４色定理と無限地図
平面内に書かれた有限個の国を持つ地図は，４色を用いて隣国が同じ色にな
らないように塗り分けられる（ Kenneth Appel and Wolfgang Haken）．実は
この４色定理は無限個の国を持つ地図でも成立する．このことはコンパクト性
定理を使うと簡単に分かる．

T がモデルを持つことを示せば十分である．コンパクト性定理により，T の
各有限部分がモデルを持つことを示せばよい．しかし，それは有限地図 (有限
グラフ) に対する４色定理から明らかである．
(引用終り)

要するに、任意の有限地図 (有限グラフ) に対する４色定理から
コンパクト性定理により、「４色定理は無限個の国を持つ地図でも成立する」ってこと

だから、>>246より任意の有限部分族が独立のとき→確率変数の無限族は独立
（「”確率変数の無限族の独立性の微妙さ”などと時枝氏は言ってるが，これは全くの的外れ」）
ってことです（＾＾；

289(1): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2020/02/12(水)07:51 ID:8axgfTbD(12/19) AAS
>>266 補足
>要するに、任意の有限地図 (有限グラフ) に対する４色定理から
>コンパクト性定理により、「４色定理は無限個の国を持つ地図でも成立する」ってこと
>だから、>>246より任意の有限部分族が独立のとき→確率変数の無限族は独立
>（「”確率変数の無限族の独立性の微妙さ”などと時枝氏は言ってるが，これは全くの的外れ」）

簡単な話です
”任意の有限部分族が独立のとき→確率変数の無限族は独立”という定義は
コンパクト性定理が裏付けになるから
「”確率変数の無限族の独立性の微妙さ”などと時枝氏は言ってるが，これは全くの的外れ」

任意の有限地図 (有限グラフ) に対する４色定理から
コンパクト性定理により、「４色定理は無限個の国を持つ地図でも成立する」と同じ話です

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