[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む83 (1002ﾚｽ)
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742: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2020/02/17(月)07:13 ID:tibq+GyR(1/10) AAS
>>741
どうも。スレ主です。
レスありがとう（＾＾
743: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2020/02/17(月)07:14 ID:tibq+GyR(2/10) AAS
>>720-740
皆さま、どうも。スレ主です。
レスありがとう（＾＾
746(4): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2020/02/17(月)07:26 ID:tibq+GyR(3/10) AAS
>>719
＞有限と無限は異なるものだからその差(違い)は何か？
レーヴェンハイム?スコーレムの定理をご存知でしょうか？ｗ（＾＾；
「定理の上方部分の証明は、いくらでも大きな有限のモデルを持つ理論は無限のモデルを持たねばならないことをも示す」ｗｗ
（参考）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
レーヴェンハイム?スコーレムの定理
(抜粋)
レーヴェンハイム?スコーレムの定理（英: Lowenheim?Skolem theorem）とは、可算な一階の理論が無限モデルを持つとき、全ての無限濃度 κ について大きさ κ のモデルを持つ、という数理論理学の定理である。
そこから、一階の理論はその無限モデルの濃度を制御できない、そして無限モデルを持つ一階の理論は同型の違いを除いてちょうど1つのモデルを持つようなことはない、という結論が得られる。
定理の上方部分の証明は、いくらでも大きな有限のモデルを持つ理論は無限のモデルを持たねばならないことをも示す。この事実を定理の一部とする場合もある。
例と帰結
レーヴェンハイム-スコーレムの定理から導かれる結論の多くは、一階とそうでないものの違いがはっきりしていなかった20世紀初頭の論理学者にとっては直観に反していた。
例えば、真の算術 (true arithmetic) には非可算なモデルがあり、それらは一階のペアノ算術を満足するが、同時に帰納的でない部分集合を持つ。
さらに悩ましかったのは、「集合論の可算なモデルの存在である。それにもかかわらず、集合論は実数が非可算である」という文を満たさなければならない。
この直観に反するような状況はスコーレムのパラドックスと呼ばれ
748: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2020/02/17(月)07:27 ID:tibq+GyR(4/10) AAS
>>746 文字化け訂正
レーヴェンハイム?スコーレムの定理
↓
レーヴェンハイム-スコーレムの定理
749(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2020/02/17(月)07:43 ID:tibq+GyR(5/10) AAS
>>746 補足
＜ちょっと思いついたので書いておく＞
さらに、時枝の可算無限数列のシッポの同値類は、それぞれ、共通のシッポを持つことが、コンパクト性定理から言える
証明の筋は、下記の”４色定理と無限地図”に同じ
つまり、同値類内の任意の有限部分を取ると、これらは共通のシッポを持つ（∵推移律）
よって、コンパクト性定理より、1つの同値類全体でも、共通のシッポを持つ
コンパクト性定理は、非可算集合に対しても成立する
QED
（>>262より）
外部ﾘﾝｸ:www.math.tsukuba.ac.jp
ロジックの部屋
坪井明人 筑波大
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.math.tsukuba.ac.jp
数理論理学ＩＩ
(抜粋)
第 2 章 モデル理論の基礎 21
2.2 コンパクト性定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5 応用例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5.1 ４色定理と無限地図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
定理 53 (コンパクト性定理). T を閉論理式の集合とする．このとき次は同値
である：
1. T はモデルを持つ；
2. T の任意の有限部分集合 T0 はモデルを持つ．
証明. 1 ⇒ 2 は自明である．2 ⇒ 1 の対偶を示す．
2.5 応用例
2.5.1 ４色定理と無限地図
平面内に書かれた有限個の国を持つ地図は，４色を用いて隣国が同じ色にな
らないように塗り分けられる（ Kenneth Appel and Wolfgang Haken）．実は
この４色定理は無限個の国を持つ地図でも成立する．このことはコンパクト性
定理を使うと簡単に分かる．
T がモデルを持つことを示せば十分である．コンパクト性定理により，T の
各有限部分がモデルを持つことを示せばよい．しかし，それは有限地図 (有限
グラフ) に対する４色定理から明らかである．
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
コンパクト性定理
(抜粋)
歴史
1930年にゲーデルが可算集合の場合について証明した。非可算の場合については、Anatoly Maltsevが1936年に証明を与えた[1][2]。
750(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2020/02/17(月)07:44 ID:tibq+GyR(6/10) AAS
>>747
どうも。スレ主です。
レスありがとう
心配するな
スレは壊れていない
壊れているのは、５ｃｈ数学板の方だよｗ（＾＾；
753(6): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2020/02/17(月)07:53 ID:tibq+GyR(7/10) AAS
>>749 補足
＜これも思いついたので書いておく＞
１．時枝の決定番号を、下記の超自然数の集合 *Nに埋め込む
２．共通のシッポの決定番号は、無限大超自然数 ωになる
∵ 背理法による。もし、共通のシッポの決定番号が有限ｍとする
しかし、必ずｍ＋1となる可算無限数列Aが、どの同値類内に存在する
Aは、同値類内の全ての元と同値（〜）になるので、ｍ＋1になる部分を、共通のシッポに取り直せる
これは、共通のシッポの決定番号が有限ｍであったことに矛盾する
この矛盾は、決定番号が有限ｍとしたことに起因する
QED
（>>321より）
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.kurims.kyoto-u.ac.jp
平成29年度(第39回)数学入門公開講座テキスト(京都大学数理解析研究所，平成29年7月31日〜8月3日開催
超準解析入門
−超実数と無限大の数学−
磯野優介
数学入門公開講座
平成 29 年 7 月 31 日〜8 月 3 日
(抜粋)
P15-16
4 超実数を用いた解析学の展開
4.1 数列の収束
定義 4.1. 超実数 α が超自然数であるとは，自然数からなる数列 (an)n を用いて α = (an)n
と書ける事である．この時もし α が無限大超実数ならば，無限大超自然数という．超自然数
の集合を *N で表す．以後は分かりやすさのため，超自然数は ω, λ 等の記号で表す事が多い．
次の定理は，数列の収束という ε-δ 論法における概念を，超実数のみを用いた条件に言い
換えるものです．
定理 4.7. 実数列 (an)n と実数 a ∈ R に対して，limn→∞ an = a である事の必要十分条件は
どんな無限大超自然数 ω に対しても aω =〜 a となる事である．
注意 4.8. この定理が証明されれば，最初から limn→∞ an = a の定義を，aω =〜 a が全ての
無限大超自然数 ω に対して成立する事としてもよい事になる．これは「数列の ∞ 番目がい
つも同じ数」という意味であり，より直感的な収束の定義である．
754(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2020/02/17(月)07:54 ID:tibq+GyR(8/10) AAS
>>752
＞主様、万が一奥様に逃げられたら、いつでも、えもにご相談くださいね♪
ご心配、ありがとう
感謝、感謝！！（＾＾
755: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2020/02/17(月)07:56 ID:tibq+GyR(9/10) AAS
>>753 タイポ訂正
しかし、必ずｍ＋1となる可算無限数列Aが、どの同値類内に存在する
↓
しかし、必ずｍ＋1となる可算無限数列Aが、この同値類内に存在する
773(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2020/02/17(月)22:58 ID:tibq+GyR(10/10) AAS
>>762
>「共通のシッポ」意味よく分かりますよ。
>時枝記事読んで同値類の定義知ってれば誰でも分かる。
ありがとう。ザッツ ライト！！
(>>347より)数学セミナー201511月号の記事
実数列の集合 R^Nを考える.
s = (s1，s2，s3 ，・・・)，s'=(s'1， s'2， s'3，・・・ )∈R^Nは，ある番号から先のしっぽが一致する∃n0：n >= n0 → sn＝ s'n とき同値s 〜 s'と定義しよう(いわばコーシーのべったり版).
念のため推移律をチェックすると，sとs'が1962番目から先一致し，s'とs"が2015番目から先一致するなら，sとs"は2015番目から先一致する.
sとrとがそこから先ずっと一致する番号をsの決定番号と呼び，d = d(s)と記す.
(引用終り)
上記は、数列がs,s',s'' の３つの場合で、s,s',s''の３つとも、2015番目から先一致するから、2015番目から先の数列が ３つの（シッポの）共通部分
ｒ＝s'とすれば、上記で決定番号はd1=1962とd2=2015だ
共通部分は、max(d1,d2) ＝2015から
これを、遅ればせながら（本当は>>753で定義しておくべきだったが）
これを共通部分の決定番号と定義する
即ち、
１）一つの同値類内の有限ｍ個の元の族の場合で、1つ代表を決めて、d1,d2,・・・dm-1 の最大値 max(d1,d2,・・・dm-1) とする
２）同様に、決定番号は、一つの同値類全体の共通部分でも、同様に決定番号を考えることができる
３）超自然数の集合 *Nの中で考えて（∵ >>753より）
一つの同値類全体では、これは当然∞に発散するから、超自然数の集合 *Nではωと考えて良い
４）つまり、一つの同値類全体で考えると、共通部分の決定番号は有限では収まらず∞に発散し、超自然数の集合 *Nの中ではωになる
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