[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む83 (1002ﾚｽ)
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166: 2020/02/11(火)15:14 ID:Ft3PUJtH(1/14) AAS
おっちゃんです。
>>54
>>40-41のCase2、Case3の議論は間違っている。
それらを軌道修正して、訂正すれば問題ないとは思う。
Case3の議論は、Case2のような議論に帰着される。
168(1): 2020/02/11(火)15:27 ID:Ft3PUJtH(2/14) AAS
或る3以上の整数nが存在して、何れも或る3つの正整数 x、y、z が存在して、x^n+y^n＝z^n が成り立つとする。
Euclid 平面 R^2 上の半径1の円周をCで表す。
仮定から、nは3以上の整数だから、仮定で成り立つとした等式 x^n+y^n＝z^n から、
3つの正整数 x、y、z の大小関係について、0＜x＜z、0＜y＜z が両方共に成り立つ。
仮定から x、y、z は何れも有理整数だから、x、y、z∈Z。また、有理数体Qは有理整数環Zの商体だから、Z⊂Q。
よって、z＞0 から、x/z、y/z∈Q。0＜x＜z だから、0＜x/z＜1。同様に、0＜y＜z だから、0＜y/z＜1。
平面 R^2 上で点 A(x/z,y/z) と原点 O(0,0) とを結ぶ線分と、x軸正方向とのなす角をθとする。
0＜x/z＜1、0＜y/z＜1 が両方共に成り立つから、0＜θ＜π/2 である。
平面 R^2 上の半径1の円周上には、a^2+b^2＝1、0≦|a|≦1、0≦|b|≦1 を何れも満たしているような有理点 (a,b) が稠密に分布する。
逆に、a^2+b^2＝1、0≦|a|≦1、0≦|b|≦1 を何れも満たしているような有理点 (a,b) は、すべて平面 R^2 上の半径1の円周上に存在する。
このことに注意して、有理点 A(x/z,y/z) が存在する位置について場合分けをする。
Case1)：平面 R^2 上の半径1の円周上に有理点 A(x/z,y/z) は存在するとき。
0＜x/z＜1、0＜y/z＜1 から、確かに平面 R^2 上の半径1の円周上に有理点 A(x/z,y/z) は存在し、(x/z)^2+(y/z)^2＝1 を満たすことになる。
θの定義と 0＜θ＜π/2、0＜x/z＜1 から、cos(θ)＝x/z。同様に、θの定義と 0＜θ＜π/2、0＜y/z＜1 から、sin(θ)＝y/z。
仮定において成り立つとした等式 x^n+y^n＝z^n から、(x/z)^n+(y/z)^n＝1。よって、cos^n(θ)＋sin^n(θ)＝1 となる。
しかし、仮定から n≧3 であり、0＜θ＜π/2 から 0＜cos(θ)＝x/z＜1、0＜sin(θ)＝y/z＜1 だから、
0＜cos^n(θ)＋sin^n(θ)＜1 から cos^n(θ)＋sin^n(θ)≠1 となって矛盾が生じる。
169(1): 2020/02/11(火)15:30 ID:Ft3PUJtH(3/14) AAS
(>>168の続き)
Case2)：平面 R^2 上の半径1の円周で囲まれた円の中に有理点 A(x/z,y/z) が存在するとき。
このとき、確かに平面 R^2 上の半径1の円周で囲まれた円の中に有理点 A(x/z,y/z) は存在して、(x/z)^2＋(y/z)^2＜1 を満たす。
3つの正整数x、y、zについて、0＜x＜z かつ 0＜y＜z なることと 0＜x/z＜1 かつ 0＜y/z＜1 こととは同値である。
また、確かに 0＜x/z＜1 かつ 0＜y/z＜1 である。よって、確かに平面 R^2 上の半径zの円周で囲まれた円の中に
有理点 B(x,y) は存在し、x^2+y^2＜z^2 を満たす。0＜x＜z、0＜y＜z から、平面 R^2 上において、
3点 O(0,0)、A(x/z,y/z)、B(x,y) はその順に一直線上に並んでいるから、
θの定義と 0＜θ＜π/2、0＜x/z＜1 から、或る1より大きい実数rが存在して、cos(θ)＝(rx)/z。
このとき、同様に考えると、θの定義と 0＜θ＜π/2、0＜y/z＜1 から、sin(θ) はrを用いて sin(θ)＝(ry)/z と表わされる。
よって、cos^2(θ)＋sin^2(θ)＝1 から、(x/z)^2＋(y/z)^2＝(1/r)^2 となる。
故に、r＞1 から (x/z)^2＋(y/z)^2＜1。仮定から n≧3 だから、(x/z)^n+(y/z)^n＜1。
しかし、これは仮定で等式 (x/z)^n+(y/z)^n＝1 が成り立つと仮定したことに反し矛盾が生じる。
172(1): 2020/02/11(火)15:32 ID:Ft3PUJtH(4/14) AAS
(>>169の続き)
Case3)：平面 R^2 上の半径1の円周で囲まれた円の外側に有理点 A(x/z,y/z) が存在するとき。
このとき、確かに平面 R^2 上の半径1の円周で囲まれた円の外側に有理点 A(x/z,y/z) は存在し、(x/z)^2+(y/z)^2＞1 を満たす。
よって、x^2＋y^2＞z^2 を得る。故に、平面 R^2 上の半径zの円周で囲まれた円の外側に有理点 B(x,y) は存在する。
3つの正整数x、y、zについて、0＜x＜z かつ 0＜y＜z なることと 0＜x/z＜1 かつ 0＜y/z＜1 こととは同値である。
また、確かに 0＜x＜z かつ 0＜y＜z だから、x^2＋y^2＜4z^2。よって、x^2+y^2＜(2z)^2 から ( x/(2z) )^2＋( y/(2z) )^2＜1 を得る。
zは正整数だから、2zは正整数である。よって、有理点 C(x/(2z),y/(2z)) は平面 R^2 上の半径1の円周で囲まれた円の中に存在する。
3つの正整数x、y、2zについて、0＜x＜2z かつ 0＜y＜2z なることと 0＜x/(2z)＜1 かつ 0＜y/(2z)＜1 なることとは同値である。
また、確かに 0＜x＜2z かつ 0＜y＜2z である。よって、確かに 0＜x/(2z)＜1 かつ 0＜y/(2z)＜1 である。
平面 R^2 上において、4つの有理点 O(0,0)、C(x/(2z),y/(2z))、A(x/z,y/z)、B(x,y) はその順に一直線上に並んでいるから、
(x/(2z))^2+(y/(2z))^2＜1 に注意すると、θの定義と 0＜θ＜π/2、0＜x/(2z)＜1 から、
或る2より大きい実数sが存在して、cos(θ)＝(sx)/(2z)。このとき、同様に考えると、θの定義と 0＜θ＜π/2、0＜y/(2z)＜1 から、
sin(θ) はsを用いて sin(θ)＝(sy)/(2z) と表わされる。よって、cos^2(θ)＋sin^2(θ)＝1 から、(x/z)^2＋(y/z)^2＝(2/s)^2 を得る。
故に、s＞2 から (x/z)^2＋(y/z)^2＜1。仮定から n≧3 だから、(x/z)^n+(y/z)^n＜1。
しかし、これは仮定で等式 (x/z)^n+(y/z)^n＝1 が成り立つと仮定したことに反し矛盾が生じる。
Case1)、Case2)、Case3)から、有理点 A(x/z,y/z) が存在し得る位置について、何れの場合においても矛盾が生じる。
背理法が適用出来るから、背理法を適用すれば、どんな3以上の整数nに対しても、x^n+y^n＝z^n を満たす3つの正整数x、y、zは存在しない。
180(1): 2020/02/11(火)16:10 ID:Ft3PUJtH(5/14) AAS
>>172の s＞2 はもしかしたら間違いかも知れない。
図を描いて見ないと分からない。
Case3の議論はもっと長くなるかもしれない。
181: 2020/02/11(火)16:15 ID:Ft3PUJtH(6/14) AAS
多分、0＜s＜2 か。
186: 2020/02/11(火)16:39 ID:Ft3PUJtH(7/14) AAS
>>183
分かった。
187(1): 2020/02/11(火)16:47 ID:Ft3PUJtH(8/14) AAS
>>185
持病のことはそんなに気にしなくていい。
予測出来ない持病の症状の発症を気にしたら、却ってストレスが溜まる。
そういうのは、なるようにしかならない。
むしろ、歯の状態の方が気になる。
190: 2020/02/11(火)17:08 ID:Ft3PUJtH(9/14) AAS
歯槽膿漏とかが気になっている訳ではないけど、天ぷらやかき揚げは、意外に下手して噛むと歯を傷める。
天ぷらやかき揚げなどの硬めのタマネギをガリッって勢いよく噛んだら、
原因は知らないけど、歯のエナメル質を傷めて象牙質まで歯が丸くクレーター上に凹んで噛んだ痕が残っている。
191: 2020/02/11(火)17:10 ID:Ft3PUJtH(10/14) AAS
クレーター上 → クレーター状
192: 2020/02/11(火)17:22 ID:Ft3PUJtH(11/14) AAS
キビは食っているかーい？
195: 2020/02/11(火)17:45 ID:Ft3PUJtH(12/14) AAS
キビはトウキビともいい、トウモロコシのこと。
一概にどこの方言かの断定は出来ないけど、少なくとも北海道の方言。
北海道に旅行したとき、バスガイドさんがいっていた。
北海道は、タマネギやトウモロコシ、ジャガイモの産地。
197(1): 2020/02/11(火)17:49 ID:Ft3PUJtH(13/14) AAS
>>194
泡を吹くようなことはなかった。
予測不能な症状だから、気にしなくていい。
精神面でも、楽観的に構えていた方がいい。
198: 2020/02/11(火)17:50 ID:Ft3PUJtH(14/14) AAS
それじゃ、おっちゃんもう寝る。
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