現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む83

[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む83 (1002ﾚｽ)
上下前次1-新
抽出解除必死ﾁｪｯｶｰ(本家) (べ) 自ID ﾚｽ栞あぼーん

このｽﾚｯﾄﾞは過去ﾛｸﾞ倉庫に格納されています｡
次ｽﾚ検索歴削→次ｽﾚ栞削→次ｽﾚ過去ﾛｸﾞﾒﾆｭｰ

ﾘﾛｰﾄﾞ規制です｡10分ほどで解除するので､他のﾌﾞﾗｳｻﾞへ避難してください｡

110(2): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2020/02/11(火)08:48 ID:CB29Ozfy(1/13) AAS
>>97　追加

外部ﾘﾝｸ[pdf]:ocw.u-tokyo.ac.jp
学術俯瞰講義〜数学を創る〜第２回東京大学
Mathematics ‘‘On Campus’’
ことばを創り、世界を創る
２００９．１０．１５
de Fermat. (1601.8.20-. 1665 1 12).1.12). フランスの. トゥールーズの人. 「数論の父」 ... フェルマーの最終定理before 1986. フェルマーの最終定理before 1986. ? 超有名で、. 歴史的に重要. ? 歴史的に重要. 代数的整数論の確立（クンマー） ...

外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.kurims.kyoto-u.ac.jp
平成19年度(第29回)数学入門公開講座テキスト(京都大学数理解析研究所，平成19年7月30日〜8月2日開催)
R = T 定理の仕組みとその応用
安田正大
この講座では, Fermat 予想の証明のために Wiles, Taylor-Wiles が確立した R = T 定理に関する最近の
発展と応用についてお話します.
この原稿は数学の専門家でない方を対象にして書かれており, 内容の正確さよりも, 大体の感じをつかん
でもらうことを目標としています. 読者に難解な印象を与えないようにするために, 専門家向けの文章では
許されないようなあいまいな表現の仕方をあえてしている部分があります.
1. Fermat 予想
19. 謝辞
草稿段階の本原稿に目を通してくださり, たくさんの有益な助言を下さいました山下剛さんに感謝いたし
ます.19

外部ﾘﾝｸ[pdf]:www7a.biglobe.ne.jp
４３「フェルマーの最終定理」
とうとうフェルマーの最終定理について書く時が来た。
多分これまでに書いた中でも最も困難な挑戦になるだろう。

208(2): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2020/02/11(火)19:37 ID:CB29Ozfy(2/13) AAS
>>171
>＞確率０ですよね
>分布によるが、０でない場合は当然ある
> 外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org

あなたは結構まともみたいだが（＾＾
さて
その確率分布で外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org

それで例えば正規分布外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
を考えると、ｘの範囲は、（-∞、+∞）を取りますが、ｘ→±∞ で裾が減衰します
e^(-x^2) で指数関数の速さで減衰します

一方、決定番号dは、ｄ→∞で減衰しません
（つまり、ｄが大きくなると、出現頻度が減衰し、小さくなってほしいのですが）
減衰しないことが、決定番号dの定量的扱いを難しくします
裾が減衰しない分布は、基本的には、確率測度として扱うことができません

211(14): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2020/02/11(火)20:06 ID:CB29Ozfy(3/13) AAS
>>173
>前半、後半はどこで分かるんですか？
>数学では、そういう言い方はしないですよ

そうです
だから結局極限で考えるのが正解です

１．まず、シッポの同値類の前に、逆転の発想で、先頭側の同値類を考えましょう
　ある番号ｎから先頭側、つまり0からnまでの箱の数が一致することをもって同値と考えます
　推移律などの確認は、時枝記事と同じなので、省略します
　結局、この場合、先頭の箱の数が一致すれば、先頭側の同値が成立つ
　列の長さは無関係です
２．そこで、話を戻して、シッポの同値類で、列の長さ有限の 0〜L番の箱で考えます
　そうすると、上記の先頭側の同値類と同じで、最後のL番目の箱で決まる
　上記同様に、列の長さに無関係で、Lの大きさには依存しない。最後の箱で決まる
３．そこで、有限の場合に、決定番号がどうなるかというと、長さ有限の 0〜L番の列で、列の長さはL+1で
　ガウス記号[(L+1)/2]以降の箱を、列の後半と定義し、それ以外を前半として定義します
　そうすると、簡単な考察で、列の長さ有限の列で、
　代表とのシッポが一致する決定番号dの分布は
　圧倒的に、列の後半に偏ります。極論すれば、最後の箱のみで決まると言って良い。つまりd=Lの場合が多い
４．この状況で、列の長さを無限大 L→∞の極限を考えると
　dは、前半には来ない
　列の長さの後半に集中する
　そして、L→∞の極限では、L=ｎ(有限)は前半に相当します
　これは、「ゼロ確率」です
５．もう少し、上記４を補足します
　問題の可算無限列ｓとその同値類の代表ｒとが、全て一致するとd=1です。でも、それは起こりえない。可算無限列の全ての箱が一致するなんて
　d=2でも同様です。それは起こりえない。2番目以降の可算無限列の全ての箱が一致するなんて
　同様に、d=nでも同様です。それは起こりえない。ｎ番目以降の可算無限列の全ての箱が一致するなんて、起こりえないのです
６．ですから、例えば簡単に２列で考えて、1つの列の決定番号が有限d1、もう一つの列の決定番号が有限d2 で、d1＞d2 だの、あるいは、d1＜d2 だのと論じていることが、
　「ゼロ確率」下での議論にすぎない

これが、時枝記事のトリックで、エレガントかは別として、>>22 や>>33の1つの謎解きです

215(10): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2020/02/11(火)20:22 ID:CB29Ozfy(4/13) AAS
>>179
>また、任意の実数列１００列について成立する、
>という主張ですから選択公理は必要です

１．例えば、簡単に２列で考える
２．時枝記事は、事前に全ての数列の同値類の分類と代表選びを完璧に終わらせるという
３．ところで、手抜かりで、1つの同値類の代表選びが、未完だったとする
　時枝記事の戦略は、不成立ですか？
　問題の２列が、未完の1つに該当しなければOKですよね
４．で、同値類の代表選びが、半分（50％）未完だったとする
　同様に、問題の２列が、未完に該当しなければOKですよね
５．では、未完の状態は最低どこまで許容できるか？
　99％未完でも、問題の２列が１％に入れば、OK
　そう考えると、最低レベルは問題の２列のみの同値類と代表があればOK
　それはあまりだというなら、可算無限の同値類と代表で、問題の２列を包含できえればOK。この場合は、可算選択公理で間に合う
　あるいは、有限でも大きな数ｎの同値類と代表で、問題の２列を包含できえればOK。この場合は、有限選択公理で間に合う
　（大は小を兼ねるで、フルパワー選択公理を用意し、ZFCで考えるのはありですが、時枝記事成立だけならフルパワー選択公理を必要としていません）
QED

218(5): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2020/02/11(火)20:28 ID:CB29Ozfy(5/13) AAS
>>214
＞しかし、L→∞としても、「∞番目の箱で決まる」とはいえませんね
＞∞は自然数じゃないので、∞番目の箱は存在しませんから

Yes
同意です

が、数当てを考えるなら、極限を考えるべきです
そして、The Riddleにしろ The Modificationにしろ時枝記事にしろ

結局、>>22 (これ>>33と同じ) の１列の場合の
＜時枝記事の可算無限数列の数当て定理 ”もどき”＞

が、L→∞の極限で不成立なら、全滅ですね
QED

221(2): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2020/02/11(火)20:36 ID:CB29Ozfy(6/13) AAS
>>217
>人が「代表選び」を実行するわけではないですよ
>選択公理により代表を選ぶ関数が存在する、と言ってるだけですから

選択公理は、選択関数の存在を保証しているだけ
というよりも、可算無限の集合族から、1つずつ元を選んで、新しい集合を作ることを許容している
そして、選ぶ元についての制限は、選択公理側には存在しない。好きに選んで良い。任意性があります

もし、集合族が1つの集合から成るなら、1つの元を持つ集合ができる
集合族がｎ個（有限）の集合から成るなら、ｎ個の元を持つ集合ができる
集合族がN個（可算無限）の集合から成るなら、N個の元を持つ集合ができる
集合族がアレフ1（非可算無限）の集合から成るなら、アレフ1（非可算無限）の元を持つ集合ができる

選択公理の役割はそれだけです
人の「代表選び」を禁止する力は、選択公理にはありません
選択公理は、選択関数の存在を保証しているだけです

222: 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2020/02/11(火)20:37 ID:CB29Ozfy(7/13) AAS
>>221 訂正
というよりも、可算無限の集合族から、1つずつ元を選んで、新しい集合を作ることを許容している
　↓
というよりも、非可算無限の集合族から、1つずつ元を選んで、新しい集合を作ることを許容している

223(2): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2020/02/11(火)20:40 ID:CB29Ozfy(8/13) AAS
>>220
その論法は、>>22 >>33の
＜時枝記事の可算無限数列の数当て定理 ”もどき”＞
が、不成立なので、だめですよ

246(4): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2020/02/11(火)22:02 ID:CB29Ozfy(9/13) AAS
前スレの下記、時枝に戻る
(引用開始)
スレ81 2chｽﾚ:math
964 自分返信：現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 投稿日：2020/02/09(日) 22:30:35.34 ID:XY5HcLEF [44/46]
それ、時枝先生の勘違いですよ
下記で、ばっさりやられています（テンプレ>>9 スレ20の確率論の専門家さん）
私は、下記を支持します
なお、この話、このスレで、私の能力では説明しきれないので、疑うなら>>531を実行してください
下記の通りだということが、はっきりしますよ（あるいは、大学教程の確率論テキストでも可（読めるなら））
（参考）
スレ20 2chｽﾚ:math
538 返信：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2016/07/03(日) 23:54:57.90 ID:f9oaWn8A [13/13]
うーん，正直時枝氏が確率論に対してあまり詳しくないと結論せざるを得ないな
>>6
>確率変数の無限族は，任意の有限部分族が独立のとき，独立，と定義されるから，(2)の扱いだ.
の認識が少しまずい．
任意有限部分族が独立とは
P(∀i=1,…n,X_i∈A_i)=Π[i=1,n]P(X_i∈A_i)ということだけど
これからP(∀i∈N,X_i∈A_i)=Π[i=1,∞]P(X_i)が成立する（∵n→∞とすればよい）
これがきっと時枝氏のいう無限族が直接独立ということだろう．
ということは(2)から(1)が導かれてしまったので，
「(1)という強い仮定をしたら勝つ戦略なんてあるはずがない」時枝氏の主張ははっきり言ってナンセンス
確率変数の独立性というのは，可算族に対しては(1)も(2)も同値となるので，
”確率変数の無限族の独立性の微妙さ”などと時枝氏は言ってるが，これは全くの的外れ
(引用終り)

ここ、私が確率論の専門家さんと呼ぶ人の証明だけど、これ本当は証明になっていないけど、時枝先生がすべっているという結論は妥当です（＾＾；
「確率変数の無限族は，任意の有限部分族が独立のとき，独立」は、後述のコンパクト性定理があるので、この”確率変数の無限族の独立性”の定義は、完璧に妥当です！
（「”確率変数の無限族の独立性の微妙さ”などと時枝氏は言ってるが，これは全くの的外れ」）

つづく

247(3): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2020/02/11(火)22:02 ID:CB29Ozfy(10/13) AAS
>>246
つづき

（参考）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
コンパクト性定理（英: Compactness theorem）とは、一階述語論理の文の集合がモデルを持つこと（充足可能であること）と、その集合の任意の有限部分集合がモデルを持つことが同値であるという定理である。
応用例
コンパクト性定理はモデル理論を含む様々な分野において多くの応用を持つ。例として、以下の定理や命題がコンパクト性定理を用いて証明される。
・上方レーヴェンハイム-スコーレムの定理
・実数や自然数の超準モデルの存在
・ロビンソンの原理(一階述語論理の文 φ が任意の標数 0 の体で成り立つならば、ある自然数 k が存在して、φは標数が k 以上のすべての体で成り立つ)
・国の数が無限である場合の四色定理[3]
・任意の順序集合が全順序に拡大できること [3]
証明
コンパクト性定理は、ゲーデルの完全性定理から導くことができる。実際、一階述語論理の文の集合Sがモデルを持たないとすると、完全性定理からSは矛盾していることになるが、どんな証明も長さは有限なので、矛盾の証明に現れるSの文は高々有限個である。よって、Sのある有限部分から矛盾が導出されること、つまりSは充足不可能な部分集合を持つことがわかる。これの対偶がコンパクト性定理である [3]。
この他にも、超積を用いた証明も知られている。
その他の論理体系におけるコンパクト性
命題論理における同様の結果は、位相空間論のチコノフの定理をストーン空間に適用することで得られる[4]。 en:Lindstrom's theoremは、コンパクト性定理と(下方)レーヴェンハイム-スコーレムの定理が一階述語論理を特徴づける性質であることを示している。高階述語論理においてもある種のコンパクト性は保持されているが、コンパクト性定理自体は成り立たない。

つづく

248(1): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2020/02/11(火)22:02 ID:CB29Ozfy(11/13) AA×
>>247

外部ﾘﾝｸ:www.practmath.com
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org

252(3): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2020/02/11(火)22:17 ID:CB29Ozfy(12/13) AAS
>>247 補足
＞コンパクト性定理（英: Compactness theorem）とは、一階述語論理の文の集合がモデルを持つこと（充足可能であること）と、その集合の任意の有限部分集合がモデルを持つことが同値であるという定理である。

これ、初見では、意味を掴むのが難しいと思うので、外しているかも知れないが、解説してみると下記

１．可算無限個の箱の列で、”黒い”という状態を考えてみよう
２．可算無限個の箱の列が、全体として”黒い”ということは、任意の有限部分集合が”黒い”ことと定義する
３．普通に「可算無限個の箱の列で、”黒い”」の否定は、「”どこかある部分が、”黒い”という状態ではない」となるだろう
４．これは、「任意の有限部分集合が”黒い”」という記述と符合していて、「任意の有限部分集合が”黒い”」が否定されるならば、「”どこかある部分が、”黒い”という状態ではない」となる
５．このように ”黒い”という状態を、”独立”に置き換えて貰えれば、コンパクト性定理のイメージが掴めるだろう
　（数学としての厳密な話は、>>247-248 なり、自分で検索するなり、あるいは専門書を買うかなど、専門の文献をご参照ください）

以上

259(1): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2020/02/11(火)23:48 ID:CB29Ozfy(13/13) AAS
>>218
>そして、The Riddleにしろ The Modificationにしろ時枝記事にしろ
>結局、>>22 (これ>>33と同じ) の１列の場合の
>＜時枝記事の可算無限数列の数当て定理 ”もどき”＞
>が、L→∞の極限で不成立なら、全滅ですね

昔読んだ話が、物理学で若い研究者が研究発表をしたところ、前列に座っていた大物物理学者が
「その式はおかしい」とずばり指摘し、書き間違いがあったという

初めて聞いた発表で、大物物理学者が
間違いを指摘できたのは、極限を考えたからだという

物理学では、例えば量子力学は、プランク定数h→0の極限で、古典力学を再現すべきだとか
あるいは、特殊相対性理論で、v/c＝〜0で、古典力学と一致する（cは光の速度です。c→∞が古典理論だと考えても良い）

極限を考えることは、物理学では結構普通ですが、
数学でも非常に有用です！（＾＾；

外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.mathsoc.jp
力学の変遷ー古典・量子・弦ー
加藤晃史 (東京大学数理科学研究科)
日本数学会市民講演会於東京工業大学
2019 年 3 月 17 日
(抜粋)
P66
対応原理
Niels Bohr が提唱した一つの指導原理：
プランク定数 h を 0 にする極限で、量子力学は古典力学を再現
する。
lim h→0 ( 量子論的な量 ) = ( 古典論での量 )
いいかえると、
h をパラメータとして古典力学を
変形した理論が量子力学である

外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
特殊相対性理論
(抜粋)
ガリレイの相対性原理と特殊相対性原理
ローレンツ変換の式(L4)式において、v/c＝〜0 とすると、(L4)式は
ガリレイ変換に一致する。
すなわち、このことからニュートン力学近似とは、慣性座標系間の相対速度 v が光速 c と比べて十分小さい場合の理論であると言うことがいえる。

上下前次1-新書関写板覧索設栞歴

ｽﾚ情報赤ﾚｽ抽出画像ﾚｽ抽出歴の未読ｽﾚ

ぬこの手ぬこTOP 0.097s