[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む78 (1002ﾚｽ)
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836(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/11/10(日)10:00 ID:9ApxZ9nn(9/16) AAS
>>826 関連追加
正20面体については、秀逸
すばらしいです（＾＾
外部ﾘﾝｸ:shironetsu.hatenadiary.com
Shironetsu Blog
2018-02-10
球面調和関数で正20面体をつくる
(抜粋)
正20面体とむきあう
理論
SU(2), SO(3)ミニマム
正20面体を回す
正20面体群の共役類
正20面体群の既約表現
1次元表現
3次元表現その1
3次元表現その2
4次元表現
5次元表現
D行列表現の既約分解
射影演算子
3次元球面上の点として
まとめ
リファレンス
つづく
837: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/11/10(日)10:01 ID:9ApxZ9nn(10/16) AAS
>>836
つづき
正20面体を回す
よく知られているように, 正12面体, 正20面体の(空間の向きを変えない)回転対称性の群 I (Icosahedral group; 正12面体群dodecahedral groupと同型だが一般には正20面体のほうで代表するらしい)は5次の交代群A5と同型になっている. これを理解するにはまず次のように各面に1から5までの数を振る. 括弧は背面の数. 各頂点のまわりに1から5まですべて集まるようになっている.
この展開図を次の2通りの方法で描く.
画像ﾘﾝｸ
頂点と中心を結ぶ軸まわりに回転させると(12345)の置換.
画像ﾘﾝｸ
面心と中心を結ぶ軸回りに回転させると(254)の置換.
I, またはA5全体はこのふたつから生成される.
5次元表現
Hと呼ばれる表現.
まず6次対称群への準同型から置換行列によって6次元表現を作る(6次対称群の外部自己同型に関係している).
正20面体の中心を通る対角線は全部で6本. 正20面体の回転はそれらの置換になるから, ラベリングすれば6次対称群の部分群との同型が得られる.
展開図を再掲. 新たに各頂点に割り当てた色は6つの対角線に対応.
内訳は
(0,±1,±τ,±τ?1)を偶置換で入れ替えたもの合計96個,
(±1,±1,±1,±1)で16個,
(±1,0,0,0)の巡回置換8個
となっている.
これを使って数式処理ソフトによって力任せにA基底を求める.
まとめ
正20面体群の既約表現を求め, SO(3)の部分群としてWigner D行列による表現を直和分解した.
そこから自明な1次元表現Aの基底への射影演算子によって不変な成分を見つけた.
その過程で数式処理ソフトを用いたが, 手計算できる程度にまで問題を落としたい.
(引用終り)
以上
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