[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む78 (1002ﾚｽ)
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80(3): 2019/10/20(日)19:50 ID:1gpHuTQE(8/8) AAS
>>77
何を言っているのか分かりません。
ヒント：
Q上S_nをガロア群として持つガロア拡大が存在することは比較的簡単に証明される。
一般方程式（係数が不定元）ではなく、数字方程式としてです。
これはガロア逆問題で最も基本的な結果です。
この事実を使ってよいものとします。
82(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/20(日)21:37 ID:f+LcfVi/(24/25) AAS
>>80
何を言っているのか分かりません。
ヒント：
１）
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Inverse Galois problem
(抜粋)
Partial results
All permutation groups of degree 16 or less are known to be realizable over Q [4]; the group PSL(2,16):2 of degree 17 may not be [5].
(引用終り)
ここで、仮に”the group PSL(2,16):2 of degree 17 may not be [5].”が成立していると認めることにする
これは、over Qの結果なのですが
２）
さて、>>66より
「ちなみにQ上とは限らず基礎体を任意の代数体に動かしてもいいなら、任意の有限群を
ガロア群として持つガロア拡大が存在することは簡単に分かる」
でしたね
では、任意の代数的数αを添加した拡大体Q（α）をベースとして、このベースに
PSL(2,16)による体の拡大を実現する方法をどうぞ示してください
３）
もし、ある代数的数αを添加した拡大体Q（α）上で、PSL(2,16)による体の拡大を実現する方法が示されたとします
そうであれば、その手法はQ上でも、実現できるのでは？
そうであれば、”the group PSL(2,16):2 of degree 17 may not be [5].”は否定されることになりそうですぜ
論文になるのでは？
122(4): 2019/10/22(火)06:15 ID:t2rCNfO0(1/7) AAS
>>117
1.Q上対称群S_n（nは2以上の任意整数）をガロア群としてもつガロア拡大K/Q が存在する。
2.任意の有限群Gはあるnに対してS_nの部分群と同型。（つまりGは忠実な置換表現を持つ。）
3.ガロア対応。S_nの任意の部分群Gに対してGの不変体をkとするとK/kはガロア拡大でGal(K/k)=G。
1.は>>80のヒントに書いた。決して自明ではなく、証明されるべきこと。
2.,3. は代数の常識。
176(7): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/24(木)17:13 ID:zndIMm6S(2/3) AAS
>>173
ID:V4UM6AG2さん、どうもスレ主です。
あなたは、かなり勉強されているみたいだから、もう少し教えてもらえますか？
少し、記号を整備しましょう。
下記、ガロア理論の基本定理にならいます。
基礎体F、拡大体E、中間体K、有理数体Q
体の有限次ガロア拡大 E/Fのガロア群 Gal(E/F)
基礎体F上、F係数の一般ｎ次方程式による体の拡大を考えて、拡大体Eが得られたとする
（簡単のために、FはQ上の代数拡大体とする）
Gal(E/F) ＝Sn （n次対称群）
体：Q ⊆ F ⊆ K ⊆ E
↓↑（ガロア対応）
群：S'⊇ Sn⊇ G ⊇{e}
ここに、GはSnの部分群で、S'はSnを含む群、 {e}は単位元からなる自明な群
（そして、ケーリー（Cayley）の定理（>>129）から、Snを十分大きく取れば、任意の群Gに対して、”Sn⊇ G”成立）
で、あなたは、
体：F ⊆ K ⊆ E
↓↑（ガロア対応）
群：Sn⊇ G ⊇{e}
なら、作れるといったわけですよね（>>80）
（体 F、K、E を自由に選んで良いなら、自由度が上がっている？ ）
でも、ガロア逆問題は
体：Q ⊆ K
↓↑（ガロア対応）
群：G ⊇{e}
となる体：Q ⊆ K （Q上の拡大体K）が存在するかどうか（あるいは見つける）ですよね（あなたの言葉を借りれば）
そういう理解で良いですかね？
なるほど
しかし、Qに限らないのでは？ 自由度の問題では？
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ガロア理論の基本定理
(抜粋)
定理の最も基本的な主張は「体の有限次ガロア拡大 E/F が与えられると、その中間体とガロア群 Gal(E/F) の部分群の間に一対一対応が存在する」ことである。
（中間体とは、F ⊆ K ⊆ E を満たす体のことを言う、それらを E/F の部分拡大と言う。）
つづく
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