[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む78 (1002ﾚｽ)
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705(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/11/09(土)14:54 ID:aIAMZK1h(10/39) AAS
>>704
つづき
6 おわりに: 実際に研究するに当たって
本書の前半部を終えた読者は, 例えば「4 次平面曲線の外ガロア点」「5 次平面曲線の内
ガロア点」を研究することができる. 本書により射影を計算できるため, 後はガロアかど
うかの判定をすれば良いわけであるが, その拡大が 4 次であれば, それを判定する手段は
ガロア理論の多くのテキストに掲載されている. 実際に, これまでの深澤研究室の修了生
のうち数名がこれらの内容で修士論文を書いた.
本書の後半部まで終えられた読者は, ガロア点研究を行える知識を概ね得ていると言え
る. ガロア点配置を特定するにはガロア被覆の基本的な性質 (定理 4.7.11) が有効である.
このなかの「分岐が整う」という性質を使ってガロア点の位置を特定する作業は「ガロア
点研究の感覚」を養うのに役立つ. 本書では「ガロア点を 2 つ登場させる」という結果
を紹介し,「それ以外にない」という結果に Weierstrass 点を使った議論を紹介している.
「それ以外にない」という方向で本書で述べ切れていない可能性があるのは,「変曲点の個
数上限」だけである. 多くの場合, ガロア点一つに対して変曲点がたくさん必要となるた
め, この上限は大変便利である. 変曲点に関しては, [22] を参考にするとよい.
ガロア点の未解決問題集 [27] には 70 問近くの問題が掲載されているので, 一読をお薦
めする. この問題集の中のどれかを解ければ, 論文にできるであろう.
主観ではあるが, ガロア点理論の発展として「標数零において, 内ガロア点は最大で 4
個, 外ガロア点は最大で 3 個」という予想が解かれることが大変重要であると思う. 問題
の解決自体もそうであるが, それ以上に, 解かれる過程で良いアイデアや手法が提案され,
それが確立されることが望ましい. 現在でも良い手法が揃ってきており, 個人的には遅く
とも 2026 年頃には解かれるのではないかと予想している. 一方, もし読者が「変曲点」や
「Weierstrass 点」以外のテクニックを使って, ガロア点の個数を確定できたならば, それ
は新たな手法を見つけられた可能性が高い. むしろそのような新発見が, ガロア点理論の
発展には必要かもしれない. 挑戦を求む!
つづく
706: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/11/09(土)14:54 ID:aIAMZK1h(11/39) AAS
>>705
つづき
他には「ガロア点による自己同型が射影変換に拡張される」という定理も必要だ, とい
う方もいらっしゃるかもしれない. 但しこれが保証されるのは「非特異平面曲線」に限定
される. 非特異平面曲線についてはガロア点の基本問題は解決されているので, これを敢
えて網羅した命題群の中に入れなかった. しかしながらその基本問題解決の証明は, ガロ
ア点研究の根幹をなすものであり, ガロア点理論を語る上で本当はとても重要である.
文責: 深澤 知
(引用終り)
以上
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