[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む78 (1002ﾚｽ)
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45(9): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/20(日)07:56 ID:f+LcfVi/(5/25) AAS
>>40
>S_5の部分群を分類しても、それが実際に既約5次方程式のガロア群になりうるかはまた別の話。
"ガロアの逆問題" ですね
”All permutation groups of degree 16 or less are known to be realizable over Q [4]; the group PSL(2,16):2 of degree 17 may not be [5].”
なので、S_5の場合は、答えは”Yes”ですね
（参考）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ガロア理論
(抜粋)
逆問題
与えられた方程式（あるいは体のガロア拡大）のガロア群を計算する問題を "ガロアの順問題"、与えられた群をガロア群にもつ方程式（あるいは体の拡大）を構成する問題を "ガロアの逆問題" と呼ぶことがある。
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Galois theory
(抜粋)
Contents
6 Inverse Galois problem
Inverse Galois problem
Main article: Inverse Galois problem
The inverse Galois problem is to find a field extension with a given Galois group
As long as one does not also specify the ground field, the problem is not very difficult, and all finite groups do occur as Galois groups. For showing this, one may proceed as follows.
つづく
46(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/20(日)07:57 ID:f+LcfVi/(6/25) AAS
>>45
つづき
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Inverse Galois problem
(抜粋)
Question, Web Fundamentals.svg Unsolved problem in mathematics:
Is every finite group the Galois group of a Galois extension of the rational numbers?
(more unsolved problems in mathematics)
Contents
1 Partial results
2 A simple example: cyclic groups
2.1 Worked example: the cyclic group of order three
3 Symmetric and alternating groups
3.1 Alternating groups
3.1.1 Odd Degree
3.1.2 Even Degree
4 Rigid groups
5 A construction with an elliptic modular function
Partial results
All permutation groups of degree 16 or less are known to be realizable over Q [4]; the group PSL(2,16):2 of degree 17 may not be [5].
All 13 non-Abelian simple groups smaller than PSL(2,25) (order 7800) are known to be realizable over Q. [6]
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Permutation group
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
置換 (数学)
以上
53(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/20(日)09:46 ID:f+LcfVi/(10/25) AAS
>>42
(引用開始)
前スレID:ospgeXvi氏が可解5次方程式を「分類する」という
問題意識を持っていたが、単に分類するだけでは面白くない。
むしろ「パラメトライズする」ような数学構造を見つけることが重要なのでは。
それでたとえば、中間体MとしてQ上ガロア群C_4またはC_2を持つ
任意の体が生じうるか？ とか、生じるなら係数によってどうパラメトライズされるか
とかは結構重要に思うが、そういう大事な問題に答えている論文が見当たらない。
(引用終り)
それって、まさに>>45の"ガロアの逆問題"と思うけど
で、>>46
”All permutation groups of degree 16 or less are known to be realizable over Q [4]; the group PSL(2,16):2 of degree 17 may not be [5].”
なので、S_5の場合は、答えは”Yes”
但し、"ガロアの逆問題"自身は、Unsolved problem（>>46）
まあ、外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org を覗いてみたら？
90(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/21(月)07:31 ID:P3acsak1(1/9) AAS
>>87
ID:qT2QtwAUさん、どうも。スレ主です。
レスありがとう
>任意の有限群Gを持つガロア拡大K/kの存在が示せる。
>kが予め固定されてないってのがミソです。
ええ、どうぞ示して下さい
「任意の有限群Gを持つガロア拡大K/kの存在」を
それで、「kが予め固定されてない」が、どう作用するのか分かるでしょうから
>(ガロア拡大)K/kがあればそれを
>うまく降下させれば、ガロア群Gを持つK'/Q
>が得られると思ってるようだが、そうはいかないんですよ。
それって、ガロアの順問題でしょ？
ガロアの順問題に反例、即ち、「そうはいかない」例があると？
（>>45）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ガロア理論
(抜粋)
逆問題
与えられた方程式（あるいは体のガロア拡大）のガロア群を計算する問題を "ガロアの順問題"、
与えられた群をガロア群にもつ方程式（あるいは体の拡大）を構成する問題を "ガロアの逆問題" と呼ぶことがある。
129(7): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/22(火)07:51 ID:u309yKT7(5/15) AAS
>>122-123
> 2.任意の有限群Gはあるnに対してS_nの部分群と同型。（つまりGは忠実な置換表現を持つ。）
それって、ケーリー（Cayley）の定理でしょ？
いま問題にしているのは "ガロアの逆問題"（下記）で、与えられた群をガロア群にもつ方程式（あるいは体の拡大）を構成する問題ですよ
ちょっと違うんじゃない？
つまり"ガロアの逆問題"は、与えられた群Gを含む大きなガロア群（例えば大きなSn）を見つける問題ではなく、「群Gそのものがガロア群になる体の拡大が存在するかどうか」という問題でしょ？
参考
外部ﾘﾝｸ[html]:okwave.jp
任意の有限群は、適当な置換群 Sn(N) の部分群？ loboskobay OKWAVE 2009/09/05 質問No.5264057
(抜粋)
「任意の有限群は適当な置換群 Sn(N) の部分群である」
ベストアンサー zk43 2009/09/05
定理の名前でいえば、
ケーリー（Cayley）の定理といいます。
証明の概略としては、Gを位数nの有限群として、
a∈Gを一つ取り、x→ax（x∈G）で写像fa:G→G
を定めると、これは全単射であり、Gの置換を
引き起こします。Gの置換全体の集合をSGとすると、
明らかにSGとSnは同型です。
そして、a→faによって写像φ：G→SGを定めると、
これは単射準同型になるので、GはSGに埋め込まれる、
すなわち、GはSnの部分群と同型となる、といえます。
（>>45より）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ガロア理論
(抜粋)
逆問題
与えられた方程式（あるいは体のガロア拡大）のガロア群を計算する問題を "ガロアの順問題"、与えられた群をガロア群にもつ方程式（あるいは体の拡大）を構成する問題を "ガロアの逆問題" と呼ぶことがある。
つづく
170(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/24(木)07:55 ID:G70Rid0Q(3/5) AAS
>>168
ID:9DQGDl/5さん、どうも。スレ主です。
夜遅く、回答ありがとう
さて、ガロア理論で、体のガロア拡大とガロア群の対応を考えるとき
・体のガロア拡大は、正規かつ分離
・拡大体と群のガロア対応は、あきらかに包含関係を逆にしている
この２つは、重要だよね
（下記「ガロア理論の基本定理」及び「ガロア理論」）
で、定義を聞いた
>>165で
ガロア対応は、”H sub gp of Gal(K/Q) ⇒ ∃k s.t. K/k Galois ext. Gal(K/k)=H”ですね
こちらが、合っている
ところで、ガロア群Gal(K/k)が既に存在するときは良いが、
逆に、ある群Hが与えられたときに、
群Hを、ガロア群とする体のガロア拡大（＝正規かつ分離）が、
必ず存在するかどうか
それが、ガロアの逆問題でしょ（>>45 ＆ >>149）
で、念押しだが現代数学の「ガロア理論の基本定理」（ガロア対応）は、基礎体k（下記ではF）に依存しないでしょ？
基礎体は、Qに限定されない
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ガロア理論の基本定理
ガロア理論の基本定理 (英: fundamental theorem of Galois theory) とは、ある種の体の拡大がなす構造を記述する結果である。
定理の最も基本的な主張は「体の有限次ガロア拡大 E/F が与えられると、その中間体とガロア群 Gal(E/F) の部分群の間に一対一対応が存在する」ことである。
（中間体とは、F ⊆ K ⊆ E を満たす体のことを言う、それらを E/F の部分拡大と言う。）
この定理は拡大体 E/F の中間体の分類という難しく聞こえる問題を、ある有限群の部分群を列挙せよというより扱い易い問題へ変換している。
(抜粋)
証明
基本定理の証明は、自明なことではない。通常の扱いで最も重要な点は、与えられた自己同型群により固定された中間体の次元を制御することができるという、エミール・アルティンによる幾分繊細な結果である。
ガロア拡大 K/F の自己同型写像は、体 K 上の函数として線型独立である。この事実は、より一般的な事実である指標の線型独立性から従う。
つづく
173(1): 2019/10/24(木)09:31 ID:V4UM6AG2(1/2) AAS
>>170
> ところで、ガロア群Gal(K/k)が既に存在するときは良いが、
> 逆に、ある群Hが与えられたときに、
> 群Hを、ガロア群とする体のガロア拡大（＝正規かつ分離）が、
> 必ず存在するかどうか
> それが、ガロアの逆問題でしょ（>>45 ＆ >>149）
>
このあたりからもう理解が、ガタガタなんですよ。
1)
H sub gp of Gal(K/Q) ⇒ ∃k s.t. K/k Galois ext. Gal(K/k)=H
2)
H sub gp of Gal(K/Q) ⇒ ∃k s.t. k/Q Galois ext. Gal(k/Q)=H
が違うのはわかっていて1)の方は簡単に証明できる話だというのは一応わかってるのね？
ところが問題なのは1)と2)はとてもよく似ていて実際、日本語の文章にするとどっちの意味なのか迷ってしまうことがあります。今回の逆問題の説明などまさにそれです。
例えば次の文章はこの部分だけ見ると1)の意味にとってしまっても不思議はありません。
More generally, let G be a given finite group, and let K be a field. Then the question is this: is there a Galois extension field L/K such that the Galois group of the extension is isomorphic to G?
これがキチンと数学の文章を全体を通じて意味を理解しないと危ない部分なんですよ。
この部分 "だけ" を切り出してしまうと1)の意味のようにKとkの両方を動かしていいと思ってしまう可能性はなくはありません。
しかし前段にある文章
In Galois theory, the inverse Galois problem concerns whether or not every finite group appears as the Galois group of some Galois extension of the rational numbers Q.
を見ると2)の意味であろうと推察できます。
これなんか論理式で書くと明白に違いがわかる文章でも我々が普段使っている言語に直してしまうとどちらの意味にでもとれてしまう "怖さ" があるんですよ。
190(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/25(金)18:50 ID:xcx18NtP(1/7) AAS
>>176
なるほど なるほど
分かりました 分かりました
"ガロアの逆問題"：
「ある基礎体Eに対して、群Gを与えたとき、拡大体Fを求めよ」という問題ですね
で、この視点から、これを広く解釈すれば、類体論もこの類の問題になる（後述）
１）可換の場合
・基礎体Q、1 の冪根（円関数）で、クロネッカー?ヴェーバーの定理
・有理数体の虚二次拡大体の場合、高木類体論（楕円曲線の虚数乗法）
・一般の基礎体Fなら、ノイキルヒの本らしい
２）非可換の場合
・ラングランズ対応
３）これ以外で、数論幾何における高次局所体および高次大域体のアーベル拡大
・A. パーシン、加藤和也、イヴァン・フェセンコ、スペンサー・ブロック、斎藤秀司ら
とか書かれていますね（下記）
イヴァン・フェセンコ先生は、例のIUTで望月先生を支持している方かな？
ではまた（＾＾
（参考）
（>>45-46）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ガロア理論
(抜粋)
逆問題
与えられた方程式（あるいは体のガロア拡大）のガロア群を計算する問題を "ガロアの順問題"、与えられた群をガロア群にもつ方程式（あるいは体の拡大）を構成する問題を "ガロアの逆問題" と呼ぶことがある。
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Inverse Galois problem
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
イヴァン・フェセンコ（Ivan Fesenko）は、数論および現代数学での他分野との（数論の）相互作用を研究している、ロシアの数学者である。
(抜粋)
フェセンコは、望月新一の宇宙際タイヒミューラー理論（英語版）(Inter-universal Teichmuller theory、IUT)の研究を整頓するうえで積極的な役割を果たした。
つづく
214(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/26(土)10:55 ID:fHUQGPHQ(1/24) AAS
>>198
ID:QC0xCFfPさん、どうも。スレ主です。
ありがとう ありがとう
了解です
あなたの言っているのは、
自由度を上げると解けるって話ですね
元は
"ガロアの逆問題" （下記）：
基礎体Fと群G（非可換の場合も）が与えられたとき、拡大体Eを構成せよ
対して、
あなたの変形した問題：
群G（非可換の場合も）が与えられたとき、ある基礎体Fと拡大体Eの組が存在するか
あなたの変形した問題では、自由度が上がって、基礎体Fと拡大体Eの組合わせが1つあれば良い
それは、>>176に示したように、ガロア理論の基本定理と
ケーリー（Cayley）の定理（>>129）から、
Snを十分大きく取れば、
任意の群Gに対して、
Gal(E/F) ＝Sn （n次対称群）
体：Q ⊆ F ⊆ K ⊆ E
↓↑（ガロア対応）
群：S'⊇ Sn⊇ G ⊇{e}
から、「 K ⊆ E」の存在が示せるってことですね
”自由度を上げる”というのは、数学では、他にもいろいろありますね
整数解を求める前に、有理数解を求めるとか、代数的整数の解を求めてみるとかね
（>>45より）
（参考）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ガロア理論
(抜粋)
逆問題
与えられた方程式（あるいは体のガロア拡大）のガロア群を計算する問題を "ガロアの順問題"、与えられた群をガロア群にもつ方程式（あるいは体の拡大）を構成する問題を "ガロアの逆問題" と呼ぶことがある。
215(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/26(土)11:03 ID:fHUQGPHQ(2/24) AAS
>>190
Fesenko先生、下記 渡邉崇
”高次元局所類体論の諸定理を I.B.Fesenko([F2]) の方法で示した”か
で、ところで、下記はOpenなのか
”今のところ素体 (有理数体 Q および有限体) に関係する体において、扱いやすい形で
Abel 拡大における Galois 群を近似する方法・すなわち類体論がいくつか知られているわ
けだが、素体によらない体で、類体論が構成され得るのか? また１世紀以上過ぎても依然
として Hilbert23 の問題の未解決問題として残っている類体の構成問題は、類体論が証明
されているすべての体上で解決できる問題なのか? など代数体の類体論が完成して、一世
紀弱が経過しているが、類体論について考えるべき問題が依然として多く残されている.”
類体論を、ガロアの逆問題（>>45）として見たとき
ガロア群がアーベルの場合は、類体論が役に立つ
では、
・ガロア群がアーベルの場合には、類体論で全て尽くされているのかどうか？
・ガロア群が非アーベルの場合は、どこまで解明されたのか？
外部ﾘﾝｸ:www.math.kyoto-u.ac.jp
雪江明彦のホームページ
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.math.kyoto-u.ac.jp
Parshin による高次元局所類体論の構成について M2 渡邉 崇 2007年修士卒業 東北大学
目次
2 高次元局所体 7
2.1 諸定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 高次元局所体の位相 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1 序文
1.1 概略
本修士論文は A.N.Parshin([P1]) による高次元局所類体論の主定理の証明の紹介と、そ
の論文の中で示されていない高次元局所類体論の諸定理を I.B.Fesenko([F2]) の方法で示
した、標数 p (> 0) の高次元局所類体論の証明である. 主にこの論文通じて示したいこと
は次の主定理と類体論の諸定理である.
定理 1.1 (高次元局所類体論の主定理). F を標数 p (> 0) が n 次元局所体. Ktop
n (F) を
位相的 n 次 Milnor K-group とするとき
ψF : Ktopn(F) → Gal(Fab/F)
単射連続な準同型 ψF でその image が dense となるものが存在する.
つづく
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