[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む78 (1002ﾚｽ)
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417(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/11/03(日)09:00 ID:apiWSBWV(16/33) AAS
>>416
つづき
その後 John Thompson が, c5 までをモンスターの既
約表現の次数の簡単な一次結合で書いた表と, このことの説明として各 n に
対し cn 次元のベクトル空間でモンスターの表現空間となっているものの存在
を問う短い論文29を書く. 例えばモンスターの既約指標の次数は小さい順に
1, 196883, 21296876, 842609326, . . . となっているが,
c1 = 196884 = 1 + 196883,
c2 = 21493760 = 1 + 196883 + 21296876,
c3 = 864299970 = 2 ・ 1 + 2 ・ 196883 + 21296876 + 842609326
29 Some numerology between the Fischer-Griess Monster and the elliptic modular function, Bull. London Math. Soc. 11 (1979), 352?353.
といった具合である. それから間もなく, この Mckay-Thompson の観察は,
John Conway (三たび John だ) と Simon Norton による “Monstrous Moonshine” という論文30において, はるかに一般的かつ精密な形の予想として提
出され, それから十数年の後, Conway の弟子の Richard Borcherds により最
終的に解決された31. これらについては最近の原田耕一郎による本32や論説33,その他文献に譲る34
30Monstrous Moonshine, Bull. London Math. Soc. 11 (1979), 308?339.
31Monstrous moonshine and monstrous Lie superalgebras, Invent. Math. 109 (1992),405?444.
32モンスター 群のひろがり, 岩波書店 (1999).
33モンスターの数学, 「数学」51 巻 1 号 (1999).
34第 6 章参照
第6章 問題と文献
これからの問題のひとつとして考えられるのは, SL2(Z) を他の種数 0 の群に
して, そこでの j(τ) にあたるもの (“Hauptmodul”) の係数の公式を問うこと
であろう. そのための手がかりとなるべき Zagier の定理の一般化について,
何を考えればよいかということは Zagier の論文
D. Zagier: Traces of singular moduli, Max-Planck-Institut f¨ur Mathematik
Preprint Series 2000 (8)
外部ﾘﾝｸ[html]:www.mpim-bonn.mpg.de
に論じてある.
つづく
418(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/11/03(日)09:00 ID:apiWSBWV(17/33) AAS
>>417
つづき
外部ﾘﾝｸ[html]:mathweb.sc.niigata-u.ac.jp
外部ﾘﾝｸ[html]:mathweb.sc.niigata-u.ac.jp
星研究室 （星ゼミ）
外部ﾘﾝｸ[pdf]:mathweb.sc.niigata-u.ac.jp
ガウスの2次形式論とクロネッカー・ウェーバーの定理についての考察 三浦 正道 2016年3月
新潟大学大学院自然科学研究科博士前期課程 数理物質科学専攻
本論文は, Richard A.Mollin 著の Algebraic Number Theory に従って進められているが, 証明につ
いては普段のゼミと同じように, 他の本なども参照し, 自分が完全に納得できるものにしている. 著
者が参考にした文献は参考文献に載せている.
本論文は 5 つの章からなっている. 第 1 章では可換環論, ガロア理論, 代数的整数論の初歩的な定理
や, 第 2 章以降で必要になってくる定理などを簡単にまとめた. 第 2 章では, ガウスの 2 次形式論につ
いて展開する. この章では 2 元 2 次形式に対して基本的なものを準備し, そこから 2 次体のイデアル
類群と対応させている. 第 3 章では, 第 1 章で準備したこと使って, クロネッカー ・ ウェーバーの定理
を証明している. 第 4 章では, 第 2 章や第 3 章を利用して著者が考察した, アルティンの相互法則の
例である, 虚 2 次体上のヒルベルト類体と 2 次形式が関わることの具体例を述べている. 最後に, 第 5
章では著者の今後の研究の対象を挙げ, 将来解決したい問題を紹介している.
つづく
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