[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む78 (1002ﾚｽ)
上下前次1-新
抽出解除 ﾚｽ栞
このｽﾚｯﾄﾞは過去ﾛｸﾞ倉庫に格納されています｡
次ｽﾚ検索 歴削→次ｽﾚ 栞削→次ｽﾚ 過去ﾛｸﾞﾒﾆｭｰ
ﾘﾛｰﾄﾞ規制です｡10分ほどで解除するので､他のﾌﾞﾗｳｻﾞへ避難してください｡
395(5): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/11/03(日)07:36 ID:apiWSBWV(2/33) AAS
>>305
ガロア逆問題で
” the group PSL(2,16):2 of degree 17 may not be be realizable over Q.”
を考えていたんだ
なんで、PSL(2,16):2 が、ガロア逆問題が成立たないのか？
PSL(2,16):2とは何か？
最初は、PSL(2,16):2は、PGL(2,16)のことかなと考えていたのだが、
下記
17 7 8160 で、”<PZL(2,16)”などと書かれたりして、なんか違うみたい
18 では、 1 2448 PSL(2,17) 、 2 4896 PGL(2,17) で、話は合うのだが
（因みに、PGL(2,16)は位数4080で、2448 （PSL(2,17)）と位数の大小が逆転している）
（参考）
外部ﾘﾝｸ[html]:conf.math.illinois.edu
Database of Primitive Groups
(抜粋) （表が崩れているので、原文の表見て下さい）
Deg | No | Order | t |+/-| Fr. | N | G(n) | G^(t) orbs | Comments
17 | 1 | 17 | | | | - | | | 17
| 2 | 34 | | | * | 17G1 | | 1,2^8 | D(17)
| 3 | 68 | | | * | 17G1 | | 1,4^4 | 17:4
| 4 | 136 | | | * | 17G1 | | 1,8^2 | 17:8
| 5 | 272 | s2 | - | * | 17G1 | | | AGL(1,17)
| 6 | 4080 | s3 | | | - | 16G3 | | PSL(2,16)
| 7 | 8160 | 3 | | | 17G6 | 16G6 | 1^5,2^6 |<PZL(2,16)
| 8 | 16320 | 3 | | | 17G6 | 16G10| 1^3,2,4^3 | PYL(2,16)
| 9 | 17!/2 | s15p | | | - | 16G21| | A(17)
| 10 | 17! | s17 | - | | 17G9 | 16G22| | S(17)
18 | 1 | 2448 | 2p | | | - | 17G4 | 1^2,8^2 | PSL(2,17)
| 2 | 4896 | s3 | - | | 18G1 | 17G5 | | PGL(2,17)
| 3 | 18!/2 | s16p | | | - | 17G9 | | A(18)
| 4 | 18! | s18 | - | | 18G3 | 17G10| | S(18)
(引用終り)
つづく
397(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/11/03(日)07:38 ID:apiWSBWV(3/33) AAS
>>395
つづき
で、いろいろ検索すると
下記があって、
「PSL(2,16) = PGL(2,16)」位数 4080
因みに、
PSL(2,8) = PGL(2,8) 504
PSL(2,32) = PGL(2,32) 32736
（だけど、PSL(2,64)とPSL(2,256)とはあるが、PGL(2,64)とPGL(2,256)とについての記載がない（＾＾； ）
なので、上記の”<PZL(2,16)”は、下記PSL(2,16):2と一致して、PGL(2,16)別ものなんだ
それで、”「PSL(2,16) = PGL(2,16)」位数 4080”みたいな例外的な性質から、ガロアの逆問題不成立かな
と思う（もし不成立としてだが）
（参考）
外部ﾘﾝｸ:homepages.ulb.ac.be
Prof. Dimitri Leemans Universite Libre de Bruxelles Departement de Mathematique Belgium
外部ﾘﾝｸ:homepages.ulb.ac.be
An atlas of subgroup lattices of finite almost simple groups
Thomas Connor and Dimitri Leemans
(抜粋)（原文はきれいな表で見やすい）
Linear groups and their automorphism groups
G Aut(G) Order of G Number of conjugacy classes of subgroups
Alt(5) = PSL(2,4) = PSL(2,5) Sym(5) 60 9
PSL(3,2) = PSL(2,7) PΓL(2,7) 168 15
PGL(2,7) = PΓL(2,7) PΓL(2,7) 336 23
Alt(6) = PSL(2,9) = Sp(4,2)' = M10' PΓL(2,9) 360 22
PGL(2,9) PΓL(2,9) 720 26
PSL(2,8) = PGL(2,8) PΓL(2,8) 504 12
PSL(2,11) = PΣL(2,11) PΓL(2,11) 660 16
PGL(2,11) = PΓL(2,11) PΓL(2,11) 1320 29
PSL(2,13) = PΣL(2,13) PΓL(2,13) 1092 16
PGL(2,13) = PΓL(2,13) PΓL(2,13) 2184 30
PSL(2,17) = PΣL(2,17) PΓL(2,17) 2448 22
PGL(2,17) = PΓL(2,17) PΓL(2,17) 4896 32
PSL(2,19) = PΣL(2,19) PΓL(2,19) 3420 19
PGL(2,19) = PΓL(2,19) PΓL(2,19) 6840 36
PSL(2,16) = PGL(2,16) PΓL(2,16) = PΣL(2,16) 4080 21
PSL(2,16):2 PΓL(2,16) = PΣL(2,16) 8160 47
PΓL(2,16) = PΣL(2,16) PΓL(2,16) = PΣL(2,16) 16320 69
つづく
400(1): 2019/11/03(日)07:51 ID:XMxtFIH6(2/6) AAS
>>395
>（因みに、PGL(2,16)は位数4080で、2448 （PSL(2,17)）と位数の大小が逆転している）
それは多分、F_qに2乗して1になる元があるかないかが関係してるのでは。
(F_16)^*は位数15の巡回群、(F_17)^*は位数16の巡回群で
前者には2乗して単位元になる元がないが後者にはあるので。
行列
a b
c d
と
-a -b
-c -d
は同じ元をあらわすので。それがP（projective、射影的）の意味です。
405(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/11/03(日)08:29 ID:apiWSBWV(8/33) AAS
>>402
>pglとかpslの位数ごときいちいち検索しないと出せないなんて話にならん。
確かに（＾＾；
GAPとか入れるか
>>403
>射影空間の定義でも同値関係〜で割った商空間という概念が現れ
>それは数学を学んだひとにとっては非常に明快なことだが
ありがとう
いま知りたいのは、>>395
”なんで、PSL(2,16):2 が、ガロア逆問題が成立たないのか？
PSL(2,16):2とは何か？”
ってこと
あなたの考えられる理由を書いてくれますか？
なんでも言い
単なるあてずっぽうで良いから
415(1): 2019/11/03(日)08:59 ID:XMxtFIH6(4/6) AAS
>>405
>いま知りたいのは、>>395
>”なんで、PSL(2,16):2 が、ガロア逆問題が成立たないのか？
それは計算上というだけで証明されてはいないですね。
証明できれば少し大げさに言うと「歴史に残る」レベルの結果では。
かといって、数学科修士レベルが解けないとも言い切れない。
いい問題なのでは。
>PSL(2,16):2とは何か？
だから、それは>>329にあるようにPSL(2,16)とGal(F_q/F_p)の部分群との半直積群ですよ。
PSL(2,16)、PSL(2,16):2、PSL(2,16):4 の3つの群が生じてるわけですね。
外部ﾘﾝｸ:galoisdb.math.upb.de によると
群によって発生確率が大きく違う。まずはその理由を知ることが基本でしょうね。
ガロア逆問題を本格的に勉強する必要がありますね。
421(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/11/03(日)09:13 ID:apiWSBWV(19/33) AAS
>>415
ID:XMxtFIH6さん、どうも、レスありがとう
>>いま知りたいのは、>>395
>>”なんで、PSL(2,16):2 が、ガロア逆問題が成立たないのか？
>それは計算上というだけで証明されてはいないですね。
>証明できれば少し大げさに言うと「歴史に残る」レベルの結果では。
>かといって、数学科修士レベルが解けないとも言い切れない。
>いい問題なのでは。
そうなんですね
なるほど
PSL(2,16):2 が、なにか、ガロア逆問題から見て、特別な存在なのでしょうね
１）ガロア逆問題が解けない か
２）ガロア逆問題は解けるが、普通のコンピュータの構成に乗らない（定義多項式が複雑になる）
１）か２）か
そして、なにか理屈があって、そうなっている。それは何か
あるいは、よくあるアプローチが、定義多項式を評価する何か指標を作って、PSL(2,16):2 の定義多項式の上限を押さえる
そして、上限以下には、そのような式が存在しないと（あるいは調べたら、上限近くにあるのかも）
上下前次1-新書関写板覧索設栞歴
ｽﾚ情報 赤ﾚｽ抽出 画像ﾚｽ抽出 歴の未読ｽﾚ
ぬこの手 ぬこTOP 0.035s