[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む78 (1002ﾚｽ)
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36(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/20(日)00:45 ID:f+LcfVi/(1/25) AAS
>>24
(引用開始)
ガロア群が巡回群
(実はα はω_{11} を 1 の原始 n 乗根として
α=ω_{11}+ω_{11}^10
と表すことができる。)
(引用終り)
巡回群はアーベルだから、クロネッカー・ウェーバーの定理から、 1 の原始 n 乗根で表わすことができるってことだね
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
巡回群
(抜粋)
任意の巡回群はアーベル群となるので、しばしば加法的に記される。またそのとき、位数 n の巡回群を Zn で表すこともあるが、この記号は数論的な文脈では p-進整数環や素イデアルによる環の局所化の記法と衝突するので問題となりうる。
他の標準的な記号としては剰余群の記法に従って Z/nZ, Z/n, Z/(n) などが用いられる。
位数 n の巡回群（n は無限大でもよい）G と G の任意の元 g について、以下のようなことが言える。
・G はアーベル群である[2]。つまり、任意の h ∈ G に対して gh = hg が成り立つ。これは g + h ≡ h + g (mod n) の成立から従う。
有限生成アーベル群の基本定理は、任意の有限生成アーベル群 A が有限個の（有限）基本巡回群と有限個の無限巡回群との直積になることを主張するものである[7]。
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
クロネッカー・ウェーバーの定理
(抜粋)
代数的整数論において、すべての円分体は有理数体 Q のアーベル拡大であることが示せる。クロネッカー・ウェーバーの定理 (Kronecker?Weber theorem) は、この逆を部分的に与えるもので、Q のアーベル拡大体はある円分体に含まれるという定理である。
言い換えると、有理数体上の拡大体でそのガロア群がアーベル群である体に含まれる代数的整数は、1の冪根の有理係数による和として表すことができる。
体論的定式化
クロネッカー・ウェーバーの定理は、体と体の拡大のことばで記述することができる。それは、有理数体 Q の有限アーベル拡大は、ある円分体の部分体であるという定理である。
つまり、Q 上のガロア群がアーベル群である代数体は、ある1のべき根を有理数体Qに添加して得られる体の部分体である。
37(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/20(日)00:54 ID:f+LcfVi/(2/25) AAS
>>21
(引用開始)
S5の位数20の部分群は、
非アーベル： C5 semix C4 （Ｃ5とＣ4の半直積）
abelian group No
nilpotent group No
metacyclic group Yes
supersolvable group Yes
solvable group Yes
Frobenius group Yes
(引用終り)
なるほどね
非アーベルか
（>>36より）
”有限生成アーベル群の基本定理は、任意の有限生成アーベル群 A が有限個の（有限）基本巡回群と有限個の無限巡回群との直積になることを主張するものである”
から、成川淳氏の 「半直積の定義は 2 つの群それぞれの役割が非対称」ってことで、これを使わないとまずいよと
直積だと、「 2 つの群それぞれの役割が対称」ってことで、対称な2つの群の直積は対称になるので、非対称の群を構成することができない
だから、対称性を崩すために半直積使うってこと
S5の位数20の部分群が、非可換ということは、置換の積から直接確かめられるだろうね（やってないけど（＾＾； ）
43(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/20(日)07:39 ID:f+LcfVi/(4/25) AAS
>>39
ID:1gpHuTQEさん、どうも。スレ主です。
レスありがとう
(引用開始)
>これは、当然素数5の群だから巡回群C5だが
>アーベルと、非アーベルに分けて
いやいや、C_5は唯一つしか存在しませんよ。当然アーベル群です。
(引用終り)
失礼しました
ここ、舌足らずだが、>>38の冒頭の「位数20」ってことですね、コンテキスト（文脈）として
「位数20」の群を、”アーベルと、非アーベルの場合に分けて”ということです
当然、位数が素数（例えば5）の群は、巡回群しかなく（下記）、巡回群はアーベルですから
（参考）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
有限群
(抜粋)
与えられた位数を持つ群の個数
位数が素数 p である群は巡回群である:これはラグランジュの定理からわかるように、単位元でない任意の元は位数が p であるので、それによって生成される巡回群はそれ自身に一致するためである。
（>>36より）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
巡回群
(抜粋)
任意の巡回群はアーベル群となるので、しばしば加法的に記される。
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