[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む78 (1002ﾚｽ)
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321(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/30(水)17:38 ID:xePUfid4(4/5) AAS
>>319 追加
ああ、こんなのがあるね。これか！（＾＾；
外部ﾘﾝｸ:shironetsu.hatenadiary.com
Shironetsu Blog
2018-08-14
小さな非可換単純群 - PSL(2,p)
(抜粋)
イントロ
2番目に/小さい非可換/単純群
はじめのいくつかの単純群
有限体上の特殊射影線形群 PSL(n,p)
定義
ガロアの最期の手紙
PSL(2,p)の位数
共役類を数える
単純性
まとめとこれから
有限体上の特殊射影線形群 PSL(n,p)
定義
さて順序が前後したがPSL(n,q)を定義する. 記号Ln(q)で表されることもある.
PはProjective, SがSpecial, LがLinear. nは行列のサイズでqは有限体Fq上にあることを意味する. 行列式1の行列全体のなす群SL(n,q)の中心による剰余群がこの群PSL(n,q)である.
一般論に踏み込むことはできないのでここからは専らPSL(2,p)を考える. pは奇素数としておく. この場合話は早くて, P1(Fp)＝〜Fp∪{∞}に対する, 行列式が1の1次分数変換全体のなす群と考えるとよい.
たとえばp=7で
置換の巡回記法で表すとそれぞれ
fg=(04)(12)(36)(5∞)=(0426)(135∞)
になっている.
PSL(2,p)はP1(Fp)への推移的な作用で(p+1)次対称群に埋め込めるということ.
ガロアの最期の手紙
ではそれより小さい対称群への埋め込みが存在するか, というと, これこそガロアが死の直前に友人オーギュスト・シュヴァリエに宛てた手紙の中で述べた命題の内容で,
p=5,7,11の場合にしかp次対称群への埋め込みは存在しない
(位数pの元が存在することからそれ未満は不可能だとすぐに分かる.).
Galois' last letter
外部ﾘﾝｸ:www.neverendingbooks.org
一応この3つ組を調べること, 特に指標表を書くこと(PSL(2,5)は5次交代群なのですでにやったが)を目標として書き始めたのがこの記事. これもまたマッカイ対応のひとつらしい.
保形形式の理論をはじめ, すごい数学がここから広がっているらしいが地道に始める.
PSL(2,p)のよいところは簡単な数論で調べられるところ.
PSL(2,p)の位数
略
(引用終り)
以上
322(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/30(水)18:00 ID:xePUfid4(5/5) AAS
>>321 補足
＞たとえばp=7で
＞PSL(2,p)はP1(Fp)への推移的な作用で(p+1)次対称群に埋め込めるということ.
＞p=5,7,11の場合にしかp次対称群への埋め込みは存在しない
＞(位数pの元が存在することからそれ未満は不可能だとすぐに分かる.).
このアナロジーでいうと
pは奇素数として
一つずらして
”PSL(2,p-1)はP1(Fp-1)への推移的な作用で(p)次対称群に埋め込める”
が、言えるのかな？
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