[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む78 (1002ﾚｽ)
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317(5): 2019/10/30(水)16:56 ID:7Ir4b7+H(1/5) AAS
スレ主はPSL(2,16)の意味は分かってる？
これは射影特殊線形群というやつだね。
モジュラー群 PSL(2,Z)とかと同じく
(az+b)/(cz+d)の形で作用する。
16は位数16の有限体F_16を意味する。
なんでPSL(2,16)が対称群S_17の
部分群として現れるか分かる？
16+1=17なんだけど、+1の意味分かる？
自分は分かったｗ
319(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/30(水)17:20 ID:xePUfid4(2/5) AAS
>>317
ID:7Ir4b7+Hさん、どうもスレ主です。
>スレ主はPSL(2,16)の意味は分かってる？
自慢じゃないが、深いところは分かっていない（＾＾；
>これは射影特殊線形群というやつだね。
>モジュラー群 PSL(2,Z)とかと同じく
>(az+b)/(cz+d)の形で作用する。
なんか聞いたことがあるような無いような
高木先生の本に書いてなかったかな？
ガウスが、楕円関数論で、モジュラーに気付いていたとか
> 16は位数16の有限体F_16を意味する。
>なんでPSL(2,16)が対称群S_17の
>部分群として現れるか分かる？
> 16+1=17なんだけど、+1の意味分かる？
>自分は分かったｗ
そこらの深いところは分からないが
直感的には、17が素数であって
対称群S_17に、交代群A17が正規部分群として入っていて
それとの関係かなー？
324(4): 2019/10/30(水)20:13 ID:fouiZRdR(1/2) AAS
>>317
>なんでPSL(2,16)が対称群S_17の部分群として現れるか分かる？
>16+1=17なんだけど、+1の意味分かる？
射影直線の位数
２次射影線形群は、１次元射影空間（＝射影直線）に作用する
16元からなる有限体 F16 上の射影直線は 16 + 1 点からなる。
＋１の分は無限遠点
>>319
＞そこらの深いところは分からないが
全然深くねぇよ、馬鹿ｗｗｗ
393(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/11/03(日)06:58 ID:apiWSBWV(1/33) AAS
>>390
ID:lDq+/ft5さん、どうも。スレ主です。
レスありがとう
(引用開始)
PSLのSの意味は行列式が1ということ。
z→z+a(a∈F_q)という変換が含まれてるので、
0,1,...,qの上に推移的に作用している。
（そして0を外すわけにはいかない）
また、z→-1/z という変換が含まれてるので
この変換での0の行先として∞が含まれざるを得ない。
勿論、この変換はPSL(2,q)に含まれてる。
そもそも任意のz∈F_qに対して、z+p=zですね...
(引用終り)
すごいすごい（＾＾
「PSLのSの意味は行列式が1ということ」
を昔読んだ気がするが
全然、理解できていないってことだろうね（＾＾；
で、>>387は素朴な疑問で
>>375より
PSL(2, q) の群の位数は、PGL(2, q) を経由して出している
それは、外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Projective linear group
に書いてあるので
そこは分かった
では、「PSLのSの意味は行列式が1ということ」から、
直接 PSL(2, q) の群の位数が、PGL(2, q) を経由しないで、出せる？
そもそもは
>>317
"16は位数16の有限体F_16を意味する。
なんでPSL(2,16)が対称群S_17の
部分群として現れるか分かる？
16+1=17なんだけど、+1の意味分かる？"
だったのだが
802(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/11/09(土)21:08 ID:aIAMZK1h(32/39) AAS
>>317
>スレ主はPSL(2,16)の意味は分かってる？ 射影特殊線形群
なるほど、下記だね
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
射影直線
(抜粋)
数学の特に射影幾何学における射影直線（しゃえいちょくせん、英: projective line）は、俗に言えば通常の直線に無限遠点と呼ばれる補助的な点を付け加えて延長したものである。
斉次座標系
直線を無限遠点まで延長する
P1(K) は「直線」K を無限遠点で延長したものと同一視することができる。
対称性の群
極めて一般に、K に係数を持つ射影変換群が射影直線 P1(K) に作用する。
この群はこれら変換が射影的な特性を持つことを強調して PGL2(K) と書かれる。
この作用は推移的であり、したがって P1(K) は PGL2(K) の等質空間となる。
作用が推移的であるとは、任意の点 Q を別の任意の点 R に写すような射影変換が必ず存在するということである。
従って P1(K) 上の「無限遠点」とは座標系を選んだことによって生じた「人工物」に過ぎないのである。
実際、斉次座標（英語版） [X : Y] ~ [λX : λY] は二次元平面の非零な点 (X, Y) が載った一次元部分空間を表すが、
射影直線の対称性によって点 ∞ = [1 : 0] は他の点に写されるのだから、それらを区別する必要はない。
より強い事実が成立する。相異なる任意の三点 Qi (i = 1, 2, 3) が与えられたとき、
それを適当な射影変換を選んで他の任意の三点 Ri (i = 1, 2, 3) に写すことができる（三重推移性）。
組に属する点の数は、PGL2(K) は三次元なので、これ以上増やすことができない。即ち、この群作用は鋭三重推移的である。
このことの計算論的側面として 複比（英語版）がある。
実際、逆のことが一般化された形で成り立つ: 「体」を「KT-体」（乗法逆元をとる操作を適当な種類の対合に一般化する）に置き換え、
「PGL」もそのような場合の射影線型写像に一般化して考えるとき、
任意の鋭三重推移的群作用は必ず射影直線への一般化された PGL2(K) の作用に同型である[1]。
代数曲線としての性質
射影直線の函数体は、一つの不定元 T に関する K 上の有理函数体 K(T) である。
K(T) の K-自己同型群は、上でも述べた PGL2(K) に他ならない。
826(5): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/11/10(日)09:28 ID:9ApxZ9nn(4/16) AAS
>>317
>なんでPSL(2,16)が対称群S_17の
>部分群として現れるか分かる？
> 16+1=17なんだけど、+1の意味分かる？
>自分は分かったｗ
>>324
>射影直線の位数
> ２次射影線形群は、１次元射影空間（＝射影直線）に作用する
> 16元からなる有限体 F16 上の射影直線は 16 + 1 点からなる。
>＋１の分は無限遠点
ここ、チェックしているんだ
で、
”pは奇素数として
PSL(2,p)はP1(Fp)への推移的な作用で(p+1)次対称群に埋め込める”
は、見つかったな（＾＾；
でも、「pは奇素数としておく.
この場合話は早くて, P1(Fp)＝〜Fp∪{∞}に対する,
行列式が1の1次分数変換全体のなす群と考えるとよい.」とあるけど？
”pは奇素数”以外は、話は早くないみたいだぜ（＾＾；
（参考）
外部ﾘﾝｸ:shironetsu.hatenadiary.com
Shironetsu Blog
2018-08-14
小さな非可換単純群 - PSL(2,p)
(抜粋)
イントロ
2番目に/小さい非可換/単純群
はじめのいくつかの単純群
有限体上の特殊射影線形群 PSL(n,p)
定義
ガロアの最期の手紙
PSL(2,p)の位数
共役類を数える
単純性
まとめとこれから
つづく
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