[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む78 (1002ﾚｽ)
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259(2): 2019/10/27(日)10:01 ID:ek6S6+eD(1/9) AAS
K/kを有限次ガロア拡大とすると任意のαに対してK(α)/k(α)もガロア拡大で
Gal(K(α)/k(α))=Gal(K/K∩k(α)).
もしK∩k(α)=kであれば、Gal(K(α)/k(α))=Gal(K/k).
（そしてほとんどのαに対しては、K∩k(α)=kだろう。）
つまり小さい基礎体で与えられたガロア群を持つ拡大の存在が言えれば
それを拡大しても際限なく同じガロア群を持つ拡大が得られる。
それで「小さい基礎体上で構成した方が価値が高い」
という考えが生まれ、「Q上で構成する」という問題意識が生まれたのではなかろうか？
しかし、もしQ上で存在しない解があるとすれば、そもそも問題設定が人工的だったことになる。
Wikipedia で非存在が予想(?)されている例は
PSL(2,16)ではなくPSL(2,16):2という位数8160の群ですね。
これは S_17の部分群で、17個の元に推移的に作用する群。
262: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/27(日)12:17 ID:EUeYkluT(2/14) AAS
>>259
ID:ek6S6+eDさん、どうも。スレ主です。
(引用開始)
つまり小さい基礎体で与えられたガロア群を持つ拡大の存在が言えれば
それを拡大しても際限なく同じガロア群を持つ拡大が得られる。
それで「小さい基礎体上で構成した方が価値が高い」
という考えが生まれ、「Q上で構成する」という問題意識が生まれたのではなかろうか？
(引用終り)
どうも
専門的になると、私ら素人にはよく分かりませんが
ともかく、Ｑ上というのは基本というか、Ｑが応用上も大事な話ですよね
「類体論の一般化
加藤 和也 数学/40 巻 (1988)」
”代数体が整数論において研究の対象とされる理由は,ひとつには有理数体が昔から人間にとつて
親しみ深い対象であり,有理数体を考察していけば自然にその有限次拡大である代数体に考察が及
んだからである”
(引用開始)
Wikipedia で非存在が予想(?)されている例は
PSL(2,16)ではなくPSL(2,16):2という位数8160の群ですね。
これは S_17の部分群で、17個の元に推移的に作用する群。
(引用終り)
なるほどね
これ（もし非存在だとして）の証明は
5次方程式に解の公式がないという話の類似かもしれませんね
287(1): 2019/10/27(日)20:42 ID:ek6S6+eD(4/9) AAS
>>259
>Wikipedia で非存在が予想(?)されている例は
よく読んだら
"known to be realizable over Q"
の否定だから、非存在を予想してるわけじゃなくて
「多分、（現時点で計算上）存在が知られていない」
くらいの意味でしょうかね。
失礼しました。m(__)m
もともとスレ主が言い始めた話ですけどね。
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