[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む78 (1002ﾚｽ)
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251(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/26(土)21:51 ID:fHUQGPHQ(22/24) AAS
>>250
つづき
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
代数体
(抜粋)
数学の体論・代数的整数論における代数体（だいすうたい、英: algebraic number field[注 1]）とは、有理数体の有限次代数拡大体のことである。代数体 K の有理数体上の拡大次数 [K:Q]を、K の次数といい、次数が n である代数体を、n 次の代数体という。 特に、2次の代数体を二次体、1のベキ根を添加した体を円分体という。
K を n 次の代数体とすると、K は単拡大である。つまり、K の元 θ が存在して、K の任意の元 α は、以下の様に表される。
α =a_0+a_1θ +・・・ +a_n-1θ^n-1。
但し、 a_0, a_1,・・・, a_n-1 は有理数。
このとき θ は n 次の代数的数であるので、K を Q 上のベクトル空間とみたとき、1, θ ,・・・ , θ^n-1 は基底となる。
外部ﾘﾝｸ:hooktail.sub.jp
拡大体
(抜粋)
ある体 F に，幾つかの元を付け足すことで， F を含む体 E を作れるとき， E を F の 拡大体 (もしくは単に 拡大 )と呼びます．
体 F の拡大体 E は， F 上のベクトル空間になっています．
F 上のベクトル空間と見たときの E の次元を EのF上の次数 もしくは 拡大次数 と呼び， [E:F] と書きます． [E:F] が有限のとき E を 有限次拡大体 ,無限のとき 無限次拡大体 と呼びます．
素体
逆に，部分体を考えて行くとき，これ以上小さな部分体が取れない(部分体は体自身のみ)となる体を 素体 と呼びます．有理数体は素体です．
有理数体 Q は素体です．
素数 p の剰余体 Z_p は素体です．
実は『全ての素体は， Q か Z_p と同型である』と言えるのです．後ほど 素体 の記事で証明します．
外部ﾘﾝｸ:hooktail.sub.jp
素体
(抜粋)
有理数体と剰余体は，それぞれ素体であることを 拡大体 で示しました．実は，逆に全ての素体は有理数体か剰余体のどちらかに同型であることが言えるのです．
全ての素体は，有理数体 Q か剰余体 Z_p に同型です．
証明には準同型定理と商体の知識が必要です．イデアルも少し出てきます．少し長いですが，証明を掲げておきます．
次の定理も重要です．
任意の体 F は，ただ一つの素体を含みます．
252: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/26(土)22:05 ID:fHUQGPHQ(23/24) AAS
>>251 追加
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
二次体
(抜粋)
二次体 (にじたい、英: quadratic field) は、有理数体上、2次の代数体のことである。任意の二次体は、平方因子を含まない 0, 1 以外の整数 d を用いて、Q(√d)と表現される。
もし、d > 0 である場合、実二次体 (real quadratic field)、d < 0 の場合、虚二次体 (imaginary quadratic field) という。
性質
体論・環論
・任意の二次体は、ガロア拡大体であり、ガロア群は巡回群となる。
・その整数環がユークリッド整域となる二次体 Q (√d) は、d = ?11, ?7, ?3, ?2, ?1, 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73 だけである。
・その整数環が一意分解整域となる虚二次体 Q(√d)は、d = ?1, ?2, ?3, ?7, ?11, ?19, ?43, ?67, ?163 だけである。
・任意の二次体K に対して、有理素数 p は、以下のいずれかを満たす。
1. (p)= p_1 p_2 ( p_1, p_2 は、相異なるK の素イデアル)。 (このとき、p は、K で完全分解であるという。)
2. (p)= p^2 ( p は、K の素イデアル)。(このとき、p は、K で不分解であるという。)
3. (p)は、K の素イデアルである。(このとき、p は、K で不分岐であるという。)
二次体と円分体
・任意の二次体 K に対して、ある整数 n が存在して、K⊂ Q (ζ_n) 。
ここで、 ζ_n は、1 の原始 n 乗根である[4]。
特に、n = 2q (q ? 3) とすれば、円分体 Q (ζ_n) には、 Q (√-1), Q (√2), Q (√-2) が含まれる。
・上記のことは、クロネッカー＝ウェーバーの定理の特別な場合である。
さらに、基礎体を有理数体ではなく、虚二次体にしたときに同様なことが言えるかを問うたのが、クロネッカーの青春の夢(の特別な場合)である。
(引用終り)
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