[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む78 (1002ﾚｽ)
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24(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/19(土)20:47 ID:ti2BclkQ(7/18) AAS
>>23 つづき
もし、体 K に 1 の原始 n 乗根 ζが添加されていない場合は
単純に、「べき根拡大 ←→ 巡回群」は言えない
例えば、下記 元吉 文男
f(x)=x^5+x^4-4x^3-3x^2+3x+1
のガロア群は、巡回群になるそうです
（詳しくは下記）
（参考）
スレ77 2chｽﾚ:math
外部ﾘﾝｸ[pd]:repository.kulib.kyoto-u.ac.jp
巡回群をガロア群に持つ5次方程式の判別とその解法(数式処理と数学研究への応用)
元吉 文男
数理解析研究所講究録 (1990), 722: 17-20
(抜粋)
P17
§1. ガロア群が巡回群かどうかの判定
fのQ上の最小多項式はfであるのでfの 1 根をα としたとき にfを Q(α)で因数分解して、
根がすべて分離できれば巡回群である。
P18
§3. 例
f(x)=x^5+x^4-4x^3-3x^2+3x+1
を解くことにする。α をf(x)=0の根とする。
f(x)=(x-α)h(x,α)
=(x-α)(x-(α^4-4α^2+2))(x-(α^3-3α))(x-(α^2-2))(x-(-α^4-α^3+3α^2+2α-1))
となって因数分解ができ、 fのQでのガロア群が巡回群であることがわかる。
f(x) の代数的解法
上の因数分解から
θ(α)=α^2-2
とする。 これより
θ^2(α)=α^4-4α^2+2
θ^3(α)=α^3-3α
θ^4(α)=-α^5-α^4+3α^3+2α-1
となる。
略（原文を見よ）
(実はα はω_{11} を 1 の原始 n 乗根として
α=ω_{11}+ω_{11}^10
と表すことができる。)
25(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/19(土)20:57 ID:ti2BclkQ(8/18) AAS
>>23-24 追加
(引用開始)
松田 修 のべき根拡大 定理 61 があるのです
つまり、体 K が 1 の原始 n 乗根 ζが添加されているとして、
べき根拡大 ←→ 巡回群
が成立つ
(引用終り)
なので
１）方程式のガロア理論的の教育というか学習としては、「1 の原始 n 乗根 ζが添加されているとして」考えると
”べき根拡大 ←→ 巡回群”が成立つので、理論的にはすっきりしています
２）>>24 の 元吉 文男さんなどが研究されているのは（>>17の兵庫教育大学 大迎規宏 著）もそうかも知れないが
数式処理等にのせるには、「1 の原始 n 乗根 ζが添加されている」という仮定は、かえってコンピュータの処理に乗せにくい部分があるのでしょう
数体はQ（実際には整数ベース）として、数式処理の乗せる方が、素直なような気がします
（数式処理ソフトは、あまり使っていないので、ここは外しているかも知れませんが）
なので、上記１）と２）の立場をうまく使い分けるのが良いと思います
29: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/19(土)21:35 ID:ti2BclkQ(12/18) AAS
>>24 タイポ訂正
外部ﾘﾝｸ[pd]:repository.kulib.kyoto-u.ac.jp
↓
外部ﾘﾝｸ[pdf]:repository.kulib.kyoto-u.ac.jp
最後のfが抜けていた（＾＾；
36(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/20(日)00:45 ID:f+LcfVi/(1/25) AAS
>>24
(引用開始)
ガロア群が巡回群
(実はα はω_{11} を 1 の原始 n 乗根として
α=ω_{11}+ω_{11}^10
と表すことができる。)
(引用終り)
巡回群はアーベルだから、クロネッカー・ウェーバーの定理から、 1 の原始 n 乗根で表わすことができるってことだね
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
巡回群
(抜粋)
任意の巡回群はアーベル群となるので、しばしば加法的に記される。またそのとき、位数 n の巡回群を Zn で表すこともあるが、この記号は数論的な文脈では p-進整数環や素イデアルによる環の局所化の記法と衝突するので問題となりうる。
他の標準的な記号としては剰余群の記法に従って Z/nZ, Z/n, Z/(n) などが用いられる。
位数 n の巡回群（n は無限大でもよい）G と G の任意の元 g について、以下のようなことが言える。
・G はアーベル群である[2]。つまり、任意の h ∈ G に対して gh = hg が成り立つ。これは g + h ≡ h + g (mod n) の成立から従う。
有限生成アーベル群の基本定理は、任意の有限生成アーベル群 A が有限個の（有限）基本巡回群と有限個の無限巡回群との直積になることを主張するものである[7]。
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
クロネッカー・ウェーバーの定理
(抜粋)
代数的整数論において、すべての円分体は有理数体 Q のアーベル拡大であることが示せる。クロネッカー・ウェーバーの定理 (Kronecker?Weber theorem) は、この逆を部分的に与えるもので、Q のアーベル拡大体はある円分体に含まれるという定理である。
言い換えると、有理数体上の拡大体でそのガロア群がアーベル群である体に含まれる代数的整数は、1の冪根の有理係数による和として表すことができる。
体論的定式化
クロネッカー・ウェーバーの定理は、体と体の拡大のことばで記述することができる。それは、有理数体 Q の有限アーベル拡大は、ある円分体の部分体であるという定理である。
つまり、Q 上のガロア群がアーベル群である代数体は、ある1のべき根を有理数体Qに添加して得られる体の部分体である。
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