現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む78

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234(1): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/26(土)11:31 ID:fHUQGPHQ(16/24) AAS
>>233
つづき
類体論の源流クロネッカー（＾＾
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.kurims.kyoto-u.ac.jp
類体論の源流
三宅克哉 (東京都立大学理学研究科) 数理解析研究所講究録 1060 巻 1998 年 185-209
(抜粋)
§ 1 源流クロネッカー (1823-1891)
類体論の直接の源流はクロネッカーである. 彼は特にアーベルとクムマーの影響下で
2 種類の問題を提示した : 「アーベル多項式の特徴付け」と, いわゆる「単項化定理」
である.
1853 年, 29 歳のクロネッカーは短い論文 [Kr-18531 で次の主張を提示した.
クロネッ朝 $-$ ーヴエ一バーの定理 : 有理整数係数のアーベル方程式の根は必ず 1 の
罵乗根の有理整数係数の有理関数として表される.
ただし, この時点では, クロネッカーはガロア群が巡回群であるような代数方程式を
「アーベル方程式」と呼んでおり, 後に [Kr-18771 ではこれを [単純アーベル方程式
またガロア群が可換群であるものを「アーベル方程式」と呼ぶことにした. この論文で
説明されているように, どちらの定義を取ってもこの定理の含むところは変わらない.
彼はこの定理を ttSatztt と呼んでいるが, 証明は結局は ${}^{\mathrm{t}}\mathrm{i}\grave{7^{\backslash }}i\mathrm{L}^{-}$ バーの論文「We-18871 を待
つことになる.

1857 年になると, 短いが?段と楕円関数に踏み込んだ論文 [虚数乗
法が生じる楕円関数につい $\text{て}4$ ([Kr-1857a]) を著している. これと, この年にディリ
シュレに宛てた手紙 [Kr-1857b1 からみて, いわゆる「クロネッカ一の青春の夢」がこの
頃に描かれたものと思われる. 数学上の予想ないし研究課題としての「クロネッカ $-$ の
青春の夢」は, 彼がデデキントに宛てた 1880 年の手紙 ( $[\mathrm{K}\mathrm{r}- 1880\mathrm{b}]\rangle$ のなかで, 彼が
「私のいちばんのお気に入りの青春の夢」 $\langle$
... um meinen liebsten Jugendtraum, $\ldots\rangle$ と呼
んだ, おおむね次のような数学の問題 (予想) を指す :
クロネッカーの青春の夢 : 虚 2 次体上のアーベル多項式の根は, その 2 次体を虚数乗
法に持つ楕円関数の「特異モデュライ」と周期の等分点での値ですべて与えられる.

つづく

235(1): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/26(土)11:32 ID:fHUQGPHQ(17/24) AAS
>>234
つづき

類体論の源流クロネッカー（＾＾
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.kurims.kyoto-u.ac.jp
類体論の源流
三宅克哉 (東京都立大学理学研究科) 数理解析研究所講究録 1060 巻 1998 年 185-209
(抜粋)
§ 1 源流クロネッカー (1823-1891)
類体論の直接の源流はクロネッカーである. 彼は特にアーベルとクムマーの影響下で
2 種類の問題を提示した : 「アーベル多項式の特徴付け」と, いわゆる「単項化定理」
である.
1853 年, 29 歳のクロネッカーは短い論文 [Kr-18531 で次の主張を提示した.
クロネッ朝 $-$ ーヴエ一バーの定理 : 有理整数係数のアーベル方程式の根は必ず 1 の
罵乗根の有理整数係数の有理関数として表される.
ただし, この時点では, クロネッカーはガロア群が巡回群であるような代数方程式を
「アーベル方程式」と呼んでおり, 後に [Kr-18771 ではこれを [単純アーベル方程式
またガロア群が可換群であるものを「アーベル方程式」と呼ぶことにした. この論文で
説明されているように, どちらの定義を取ってもこの定理の含むところは変わらない.
彼はこの定理を ttSatztt と呼んでいるが, 証明は結局は ${}^{\mathrm{t}}\mathrm{i}\grave{7^{\backslash }}i\mathrm{L}^{-}$ バーの論文「We-18871 を待
つことになる.

1857 年になると, 短いが?段と楕円関数に踏み込んだ論文 [虚数乗
法が生じる楕円関数につい $\text{て}4$ ([Kr-1857a]) を著している. これと, この年にディリ
シュレに宛てた手紙 [Kr-1857b1 からみて, いわゆる「クロネッカ一の青春の夢」がこの
頃に描かれたものと思われる.

つづく

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