[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む78 (1002ﾚｽ)
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223(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/26(土)11:09 ID:fHUQGPHQ(8/24) AAS
>>222
つづき
(ii)すでに知られたアーベル拡大でも,いま
だ類構造の形で述べられないものがある。例えば
(イ)標数pの代数的閉体を係数体とする1変数
代数函数体kの不分岐p拡大の場合にはSafarevic
の結果より, G(Ω/k)は自由群のp完備とな
るので,§2の理論と並行したものが予想される
が,まだA(k)がうまく求められない。それより
も(官) 多変数代数函数体の場合の不分岐拡大
の理論が重要であろう.すなわち射影空間の中
の,或るnon-singularな代数多様体Vの上の
有理型函数の作る函数体をkとする。Vの有限被
覆多様体V'はまた或る別の射影室間内のnonsil1gular
な代数的多様体として表わされ,そこ
での有理型函数体Kはkの有限拡大となり,1変
数の場合との類似が成り立つ(小平邦彦,Ann.
of Math.59(1954),§12)。この場合に因子の
理論はPicard varietyの理論として,いろい
ろと研究されている(井草準一,Amer. J.
Math.,74(1952),他Chow, Wei1,小平).
さらにRiemann-Rochの定理もn変数の場合
に拡張された(Hirzebruch等).これらの材料
を用いて不分岐アーベル拡大の理論を類構造の形
に表わすことができないであろうか?
(iii)類体論をnon-abelianな理論に拡張す
ることは,多くの人々の唱えるところである。し
かし具体的な形は予想されていない.一体類構造
の理論が,アーベル拡大でない場合への同型定理
の拡張を含んで,一般の場合に拡張できるもので
あろうか?
ところで古典代数函数体の場合には,Wei1(J.
d.math..17(1938), 遠山啓(Bu11.Tokyo
Inst。 Tech。 No。4(1950))のnon-abelianな
理論が存在する.これを§3の形と類似のものに
表現できないであろうか?
さらに整数論にその類似を求めることもできな
いであろうか?
(引用終り)
つづく
224(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/26(土)11:11 ID:fHUQGPHQ(9/24) AAS
>>223
つづき
加藤 和也先生（＾＾
外部ﾘﾝｸ:www.jstage.jst.go.jp
数学/40 巻 (1988) 4 号/書誌
類体論の一般化
加藤 和也
外部ﾘﾝｸ:www.jstage.jst.go.jp
類体論の一般化
加藤 和也 数学/40 巻 (1988)
(抜粋)
有理数体の有限次拡大,いわゆる有限次代数体を,以下,代数体と称する.
代数体の類体論を,素体上(有限次に限らず)有限生成な体に一般化すること,一般化した時に生
じてくる様々の新しい問題や研究テーマについて述べたい。
代数体が整数論において研究の対象とされる理由は,ひとつには有理数体が昔から人間にとつて
親しみ深い対象であり,有理数体を考察していけば自然にその有限次拡大である代数体に考察が及
んだからであるが,もうひとつには.代数体は考察の対象とするに足る特別に豊かな理論をもつ体
であるということがある:
代数体
=整数論の対象となる体
=特別に豊かな理論をもつ体
=人間にとって身近な体.
等号(2)の存在は整数論研究者の信ずる所であると思うし,等号(3)の存在はふしぎな事で理由は
わからないけれども確かな事である.そして近年の整数論の発展を見れば,等号(1)の左側が
素体上有限生成な体=
と置きかわるようになっていくものと思われる.(例えばゼータ関数は代数体だけでなく素体上有
限生成な体に対して考察されている.)
類体論は代数体のアーベル拡大の理論であるが,それが素体上有限生成な体のア.__.ベル拡大論と
して一般化できると思うと,心に浮かぶ事は多い.
最初から夢想を書いて恐縮であるが,
そのような代数多様体の整数論に,もし一般化された類体論が活躍することができれば,どん
なにかすばらしいであろう.整数論の書物にある,類体論に関係した諸結果,諸問題はみな,こう
した素体上有限生成な体に拡張されるはずである.そしてまた,代数体に関する事の一般化だけで
なく,代数体の場合にはなかった新しい興味深い問題が生じてくる.例えば,.各アーベル拡大体に
おいて,整数環上のその体のモデルにどのような特異点が現われるか,モデルはどのくらい900d
reductionから遠いか,などを類体論的に考える問題がそれである.
つづく
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