[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む78 (1002ﾚｽ)
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214(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/26(土)10:55 ID:fHUQGPHQ(1/24) AAS
>>198
ID:QC0xCFfPさん、どうも。スレ主です。
ありがとう ありがとう
了解です
あなたの言っているのは、
自由度を上げると解けるって話ですね
元は
"ガロアの逆問題" （下記）：
基礎体Fと群G（非可換の場合も）が与えられたとき、拡大体Eを構成せよ
対して、
あなたの変形した問題：
群G（非可換の場合も）が与えられたとき、ある基礎体Fと拡大体Eの組が存在するか
あなたの変形した問題では、自由度が上がって、基礎体Fと拡大体Eの組合わせが1つあれば良い
それは、>>176に示したように、ガロア理論の基本定理と
ケーリー（Cayley）の定理（>>129）から、
Snを十分大きく取れば、
任意の群Gに対して、
Gal(E/F) ＝Sn （n次対称群）
体：Q ⊆ F ⊆ K ⊆ E
↓↑（ガロア対応）
群：S'⊇ Sn⊇ G ⊇{e}
から、「 K ⊆ E」の存在が示せるってことですね
”自由度を上げる”というのは、数学では、他にもいろいろありますね
整数解を求める前に、有理数解を求めるとか、代数的整数の解を求めてみるとかね
（>>45より）
（参考）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ガロア理論
(抜粋)
逆問題
与えられた方程式（あるいは体のガロア拡大）のガロア群を計算する問題を "ガロアの順問題"、与えられた群をガロア群にもつ方程式（あるいは体の拡大）を構成する問題を "ガロアの逆問題" と呼ぶことがある。
217: {} ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/26(土)11:05 ID:z6TBbHYr(5/21) AAS
>>214
＞群G（非可換の場合も）
わざわざ「非可換の場合も」と書く意味がわからん
馬鹿の考えることは人間には理解できないｗ
254(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/26(土)23:38 ID:fHUQGPHQ(24/24) AAS
>>214
(引用開始)
自由度を上げると解けるって話ですね
元は
"ガロアの逆問題" （下記）：
基礎体Fと群G（非可換の場合も）が与えられたとき、拡大体Eを構成せよ
対して、
あなたの変形した問題：
群G（非可換の場合も）が与えられたとき、ある基礎体Fと拡大体Eの組が存在するか
(引用終り)
これ、数学センス良いですね
数学で結構ある話ですが、例えば、ベースを実数から複素数に拡張する
そうすると、「有理数係数のｎ次代数方程式には、必ず複素数解が存在する」となる
因みに
ガロア対応：(正規かつ分離の)有限次代数拡大E/F vs ガロア群Gal(E/F)
みたいな話、結構数学ではある
微分方程式を、
フーリエ変換した空間に移して、
代数方程式にして解いて（圧倒的に解きやすい）、
その解を逆フーリエ変換して、微分方程式の解を求めることに似ている
（ガロア対応は、体の拡大を、より扱い易い群の理論に移すということ）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
フーリエ変換
(抜粋)
応用
微分方程式の解析学
フーリエ変換および近い関係にあるラプラス変換は微分方程式の解法において広く用いられる。
f(x) を可微分函数で、
そのフーリエ変換を ^f(ξ) とすると、
導函数のフーリエ変換が 2πiξ^f(ξ)
で与えられるという意味でフーリエ変換と微分作用素は両立する。
このことを用いて微分方程式を代数方程式に変換することができる。
ただし、この手法は定義域が実数全体である場合にしか適用できないことに注意が必要である。
これを拡張して、定義域が Rn であるような多変数函数に関する偏微分方程式を代数方程式に書き換えることもできる。
(引用終り)
以上
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