[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む78 (1002ﾚｽ)
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182(2): 2019/10/24(木)18:40 ID:VtUUj/v5(2/6) AAS
最初に与えられた既約方程式が素数次数であれば
分解体に到達するまでのどの中間体でも既約のままで
ガロア群のみが変わるということが起こります。
それはx^3-2=0という方程式のガロア群はQ上ではS_3だが
1の原始3乗根ωを添加したQ(ω)上ではC_3になることからも
類推できるでしょう。
素数次数p次のS_pをガロア群として持つ既約方程式の場合
まさにそれと同じことが起こります。
基礎体を変えることで、方程式はそのままで
ガロア群としてS_pのすべての部分群が生じます。
184: 2019/10/24(木)19:13 ID:VtUUj/v5(4/6) AAS
>>182
ここで言うガロア群とはGal(K/k)のこと。
たとえばQがこの方程式の係数体で
Kが分解体、kを中間体とするとき
K/kはガロア拡大だが、k/Qがそうとは限らない。
k/Qがガロア拡大となるのはGal(K/k)=Nが正規部分群のときのみ。
そのときGal(k/Q)=S_p/Nだが、S_p/Nとして生じるガロア群は
非常に限定されていることが分かる。
187: 2019/10/24(木)19:47 ID:VtUUj/v5(5/6) AAS
>>182
>基礎体を変えることで、方程式はそのままで
>ガロア群としてS_pのすべての部分群が生じます。
大間違い。
方程式はそのままじゃなくて分解することもありますね。
p個の根に可移的に作用しない部分群もあるので。
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