[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む78 (1002ﾚｽ)
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16(3): 2019/10/19(土)12:10 ID:S/ONPb/G(1/2) AAS
前スレの話の続き。
ζを1の原始5乗根とする。
Q上（Q(ζ)上としてもほぼ同じ）の可解5次方程式f(x)=0 は2項5次方程式に帰着するか？
位数20の場合を考える。
方程式の分解体をLとするとGal(L/Q)=F_20.
このとき Gal(M/Q)=C_4 なる中間体Mがある。C_4 同型 F_20/C_5.
f(x)の分解体が2項5次方程式の分解体と一致⇔M=Q(ζ).
つまりM=Q(ζ)は一般的なことなのか？ が問題となる。
Gal(F/Q)=C_4 をみたすFには一般的にどんなものがあるか？
ここで、「Q上のアーベル拡大はすべて円分体の部分体である」
というクロネッカー・ウェーバーの定理より
Fは円分体の部分体であることが分かる。
pを4n+1型の素数とするときQ(e^{2πi/p})の部分体として、p=5以外にも
無数に多くのFが存在することが分かる。
それゆえp≠5のとき、Fが実際に中間体Mとして実現する可解5次方程式f(x)=0の存在を示せば反例となる。
23(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/19(土)20:26 ID:ti2BclkQ(6/18) AAS
>>16-17
ID:S/ONPb/Gさん、どうも。スレ主です。
>Q上（Q(ζ)上としてもほぼ同じ）の可解5次方程式f(x)=0 は2項5次方程式に帰着するか？
ここ、下記 松田 修 のべき根拡大 定理 61 があるのです
つまり、体 K が 1 の原始 n 乗根 ζが添加されているとして、
べき根拡大 ←→ 巡回群
が成立つ
これは、小島寛之のガロア本（下記）の
P208 べき根拡大の定理1と（＝簡単に言えば、べき根拡大ならガロア群は巡回群）
P222 べき根拡大の定理1の逆（＝簡単に言えば、ガロア群が巡回群ならべき根拡大）
と同じです
これ、方程式のガロア理論では、多分頻出です
（参考）
外部ﾘﾝｸ:www.tsuyama-ct.ac.jp
Matsuda’s Web Page 松田 修
外部ﾘﾝｸ[html]:www.tsuyama-ct.ac.jp
TSUYAMA E-MATH BOOKS
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.tsuyama-ct.ac.jp
PDF ガロア理論を理解しよう Osamu MATSUDA 津山高専 2018/11/16
(抜粋)
P76
10.2 べき根拡大
定理 61
体 K が 1 の原始 n 乗根 ζ （ζ≠ 1 (1 <= r <= n-1), ζn = 1）を含むとする．
(1) L が K の n 次巡回拡大であれば，L = K(α), Irr(α, K) = X^n - a となる α が存在する．
(2) もし L = K(α), α^n = a ∈ K であれば，L は K の巡回拡大である．
証明
略
外部ﾘﾝｸ:gihyo.jp
知の扉
【完全版】天才ガロアの発想力
―対称性と群が明かす方程式の秘密―
著者
小島寛之 著
発売日
2019年7月6日
(抜粋)
2010 年に刊行した『天才ガロアの発想力』を大幅加筆しました。
これまでにないガロアの定理の完全解説本です。
第7章 5次以上の方程式が解けないからくり
ガロアの基本定理1の証明
解けない方程式の「からくり」はこうだ（それなり版証明）
P208 べき根拡大の定理1（＝簡単に言えば、べき根拡大ならガロア群は巡回群）
解ける方程式の「からくり」はこうだ
P222 べき根拡大の定理1の逆（＝簡単に言えば、ガロア群が巡回群ならべき根拡大）
41(1): 2019/10/20(日)07:08 ID:1gpHuTQE(3/8) AAS
>>16
可解5次方程式の古い論文見てたら、解の5乗根の中に√17や√65=√5×√13
が現れてる例が載ってたから、やはり予想通り中間体として
1の13乗根や17乗根の部分体を含むケースがあるのだろう。
なので、2項方程式に帰着する？という話は明確に否定される。
324(4): 2019/10/30(水)20:13 ID:fouiZRdR(1/2) AAS
>>317
>なんでPSL(2,16)が対称群S_17の部分群として現れるか分かる？
>16+1=17なんだけど、+1の意味分かる？
射影直線の位数
２次射影線形群は、１次元射影空間（＝射影直線）に作用する
16元からなる有限体 F16 上の射影直線は 16 + 1 点からなる。
＋１の分は無限遠点
>>319
＞そこらの深いところは分からないが
全然深くねぇよ、馬鹿ｗｗｗ
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