現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む78

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802: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/11/09(土) 21:08:53.58 ID:aIAMZK1h

>>317
>スレ主はPSL(2,16)の意味は分かってる？ 射影特殊線形群

なるほど、下記だね
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B0%84%E5%BD%B1%E7%9B%B4%E7%B7%9A
射影直線
(抜粋)
数学の特に射影幾何学における射影直線（しゃえいちょくせん、英: projective line）は、俗に言えば通常の直線に無限遠点と呼ばれる補助的な点を付け加えて延長したものである。

斉次座標系

直線を無限遠点まで延長する
P1(K) は「直線」K を無限遠点で延長したものと同一視することができる。

対称性の群
極めて一般に、K に係数を持つ射影変換群が射影直線 P1(K) に作用する。
この群はこれら変換が射影的な特性を持つことを強調して PGL2(K) と書かれる。
この作用は推移的であり、したがって P1(K) は PGL2(K) の等質空間となる。
作用が推移的であるとは、任意の点 Q を別の任意の点 R に写すような射影変換が必ず存在するということである。
従って P1(K) 上の「無限遠点」とは座標系を選んだことによって生じた「人工物」に過ぎないのである。
実際、斉次座標（英語版） [X : Y] ~ [λX : λY] は二次元平面の非零な点 (X, Y) が載った一次元部分空間を表すが、
射影直線の対称性によって点 ∞ = [1 : 0] は他の点に写されるのだから、それらを区別する必要はない。

より強い事実が成立する。相異なる任意の三点 Qi (i = 1, 2, 3) が与えられたとき、
それを適当な射影変換を選んで他の任意の三点 Ri (i = 1, 2, 3) に写すことができる（三重推移性）。
組に属する点の数は、PGL2(K) は三次元なので、これ以上増やすことができない。即ち、この群作用は鋭三重推移的である。
このことの計算論的側面として 複比（英語版）がある。
実際、逆のことが一般化された形で成り立つ: 「体」を「KT-体」（乗法逆元をとる操作を適当な種類の対合に一般化する）に置き換え、
「PGL」もそのような場合の射影線型写像に一般化して考えるとき、
任意の鋭三重推移的群作用は必ず射影直線への一般化された PGL2(K) の作用に同型である[1]。

代数曲線としての性質

射影直線の函数体は、一つの不定元 T に関する K 上の有理函数体 K(T) である。
K(T) の K-自己同型群は、上でも述べた PGL2(K) に他ならない。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/802

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