現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む78

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46: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/20(日) 07:57:23.19 ID:f+LcfVi/

>>45
つづき

https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_Galois_problem
Inverse Galois problem
(抜粋)
Question, Web Fundamentals.svg Unsolved problem in mathematics:
Is every finite group the Galois group of a Galois extension of the rational numbers?
(more unsolved problems in mathematics)
Contents
1 Partial results
2 A simple example: cyclic groups
2.1 Worked example: the cyclic group of order three
3 Symmetric and alternating groups
3.1 Alternating groups
3.1.1 Odd Degree
3.1.2 Even Degree
4 Rigid groups
5 A construction with an elliptic modular function

Partial results
All permutation groups of degree 16 or less are known to be realizable over Q [4]; the group PSL(2,16):2 of degree 17 may not be [5].
All 13 non-Abelian simple groups smaller than PSL(2,25) (order 7800) are known to be realizable over Q. [6]

https://en.wikipedia.org/wiki/Permutation_group
Permutation group

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BD%AE%E6%8F%9B_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
置換 (数学)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/46

149: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/22(火) 10:53:50.77 ID:u309yKT7

>>138-139
？
ケーリー（Cayley）の定理（>>129）より
任意の群Gは、置換群による表現を持ち、ある大きな対称群Snに含まれる
そして、ある体E上で、対称群Snをもつ一般方程式（それはn次になる）が存在して、代数拡大F/Eが得られる
これは、Q上でも同じ

それで良いなら、
ガロア逆問題
”All permutation groups of degree 16 or less are known to be realizable over Q [4]; the group PSL(2,16):2 of degree 17 may not be [5].”

なんてことにはならないでしょ？　なんで、”the group PSL(2,16):2 of degree 17 may not be [5].”なの？
ある体E上で、PSL(2,16)を使って、拡大体Fがどうなるか？

どぞ、PSL(2,16)の拡大体Fを示してください

>>46
https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_Galois_problem
Inverse Galois problem
(抜粋)
( unsolved problems in mathematics)
Partial results
All permutation groups of degree 16 or less are known to be realizable over Q [4]; the group PSL(2,16):2 of degree 17 may not be [5].

参考
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E6%8B%A1%E5%A4%A7
代数拡大
(抜粋)
抽象代数学において、体の拡大 L/K は次を満たすときに代数的（英: algebraic）であると言う。
L のすべての元は K 上代数的である、すなわち、L のすべての元は K 係数のある 0 でない多項式の根である。代数的でない体の拡大、すなわち超越元を含む場合は、超越的 (transcendental) と言う。

例えば、体の拡大 R/Q, すなわち有理数体の拡大としての実数体は、超越的であるのに対し、体の拡大 C/R や Q(√2)/Q は代数的である。ここで C は複素数体である。

すべての超越拡大は無限次元の拡大である。言い換えるとすべての有限次拡大は代数的ということになる[1]。しかしながら逆は正しくない。無限次代数拡大が存在する。例えば、代数的数体は有理数体の無限次代数拡大である。

a が K 上代数的であれば、K 係数の a による多項式全体の集合 K[a] は環であるだけでなく体である：K 上有限次の K の代数拡大である。逆もまた正しく、K[a] が体ならば a は K 上代数的である。特別な場合として、K = Q が有理数体のときは、Q[a] は代数体の例である。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/149

190: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/25(金) 18:50:08.96 ID:xcx18NtP

>>176
なるほど なるほど
分かりました 分かりました

"ガロアの逆問題"：
「ある基礎体Eに対して、群Gを与えたとき、拡大体Fを求めよ」という問題ですね

で、この視点から、これを広く解釈すれば、類体論もこの類の問題になる（後述）
１）可換の場合
　・基礎体Q、1 の冪根（円関数）で、クロネッカー?ヴェーバーの定理
　・有理数体の虚二次拡大体の場合、高木類体論（楕円曲線の虚数乗法）
　・一般の基礎体Fなら、ノイキルヒの本らしい
２）非可換の場合
　・ラングランズ対応
３）これ以外で、数論幾何における高次局所体および高次大域体のアーベル拡大
　・A. パーシン、加藤和也、イヴァン・フェセンコ、スペンサー・ブロック、斎藤秀司ら

とか書かれていますね（下記）
イヴァン・フェセンコ先生は、例のIUTで望月先生を支持している方かな？

ではまた（＾＾

（参考）
（>>45-46）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96
ガロア理論
(抜粋)
逆問題
与えられた方程式（あるいは体のガロア拡大）のガロア群を計算する問題を "ガロアの順問題"、与えられた群をガロア群にもつ方程式（あるいは体の拡大）を構成する問題を "ガロアの逆問題" と呼ぶことがある。

https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_Galois_problem
Inverse Galois problem

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A4%E3%83%B4%E3%82%A1%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%95%E3%82%A7%E3%82%BB%E3%83%B3%E3%82%B3
イヴァン・フェセンコ（Ivan Fesenko）は、数論および現代数学での他分野との（数論の）相互作用を研究している、ロシアの数学者である。
(抜粋)
フェセンコは、望月新一の宇宙際タイヒミューラー理論（英語版）(Inter-universal Teichmuller theory、IUT)の研究を整頓するうえで積極的な役割を果たした。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/190

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