現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む78

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419: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/11/03(日) 09:02:14.89 ID:apiWSBWV

>>418
つづき

http://reuler.blo（URLがNGなので、キーワードでググれ（＾＾ ）
日々のつれづれ
ガウスの数学日記90　「広義に於けるsin.lemn.」 高瀬正仁 2012/07/28 23:46
(抜粋)
数学日記の第105項目については、高木先生も『近世数学史談』の一章を使って詳述しています。その章というのは第9章のことなのですが、その第9章には「書かれなかった楕円函数論」という表題が附されています。
これを要するに、ガウスはレムニスケート函数に対して成立する等式M(√2,1)=π/ωを糸口にして、楕円関数論という広大な大洋を発見したということになります。
数学日記のガウス全集版テキストにも詳しい註記がついていて、そのようなことが書かれていますし、ガウスの楕円関数論がどのようにして発見されたのか、経緯は明瞭にわかります。
ガウスはモジュラー関数さえ発見し、基本領域の図まで描いたと、高木先生は驚きを隠しません。
　高木先生の解説によると、ガウスは
　　　π/M(1,√(1+μ^2))=ω,　π/M(μ,√(1+μ^2))=ω’
と置き、これらを用いて無限級数
　　S(u)=(π/μω)(4 sin πν/(h^(1/2)+h^(-1/2))-4 sin 3πν/(h^(3/2)+h^(-3/2))+…)
を作り、これを「広義に於けるsin.lemn.」と呼びました。sin.lemn.というのはレムニスケート関数のことですから、「広義に於けるsin.lemn.」という以上、
ガウスははじめからレムニスケート関数の延長線上に位置を占める関数を、そのようなものが存在すると確信したうえで、探索していたことがわかります。
μ=1の場合、S(u)はレムニスケート関数そのものです。
　それでこのS(u)の正体は何かということですが、S(u)=sin φと置いてφの関数と見るとき、S(u)は実は楕円積分
　　　　　　u=∫dφ/√(1+μ^2 sin^2 φ)
の逆関数、すなわち楕円関数になります。そうしてωとω’は、この楕円積分の定値
　　　　　ω=∫_[0→π]dφ/√(1+μ^2 sin^2 φ)
　　　　　ω’=∫_[0→π]dφ/√(μ^2+sin^2 φ)
です。これで、出発点の等式M(√2,1)=π/ωが大きく一般化された状態が現れました。
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/419

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