現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む78

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250: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/26(土) 21:50:11.08 ID:fHUQGPHQ

>>215
追加

https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku/67/3/67_0673246/_article/-char/ja/
数学/67 巻 (2015) 3 号/書誌
論説
高次元類体論の現在
??非アーベル化への展望と高次元Hasse原理??
斎藤 秀司
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku/67/3/67_0673246/_pdf/-char/ja
論説 高次元類体論の現在 非アーベル化への展望と高次元Hasse 斎藤秀司 数学 ?2015
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%96%8E%E8%97%A4%E7%A7%80%E5%8F%B8
斎藤 秀司（さいとう しゅうじ、1957年10月16日 - ）は、日本の数学者。東京工業大学理工学研究科理学研究流動機構教授。専門は数論幾何、代数幾何。
経歴
1981年東京大学大学院修士課程修了。1985年博士号を取得。東京大学助教授、東京工業大学教授、名古屋大学教授、東京大学教授を経て、東京工業大学理工学研究科理学研究流動機構教授。
師は伊原康隆、加藤和也。
加藤和也との共同研究である高次元類体論の一般化は広く知られている。アーベルの定理の高次元化、代数的サイクル、高次元アーベル=ヤコビ写像などの研究もある。
受賞
1996年 - 日本数学会春季賞：類体論の一般化および代数的サイクルの研究

https://twitter.com/unaoya/status/724570367293952000
りす. ?@riss_gendarmery 2016年4月23日
高次元類体論 ってなにが高次元なんだろう…wiki見ると高次元大域体とかあったけどそれがなんなのかからわからない
梅崎直也 @unaoya 2016年4月25日
普通の類体論が代数体の整数環とか有限体上の曲線とか1次元のスキームを調べるのに対して（Z上有限生成な）次元の高いスキームを考える感じです。Galois側は基本群とかその表現とかで、アデール側はK群とかチャウ群とかを使います。
りす. @riss_gendarmery 2016年4月25日
なるほど！スキームの次元が高いということだったんですね！ありがとうございます！
梅崎直也@unaoya 2016年4月25日
高次元大域体というのは素体上有限生成な体ぐらいの意味だと思います。そのようなものを関数体にもつスキームを考えるかんじです。

つづく
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/250

251: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/26(土) 21:51:03.53 ID:fHUQGPHQ

>>250
つづき

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E4%BD%93
代数体
(抜粋)
数学の体論・代数的整数論における代数体（だいすうたい、英: algebraic number field[注 1]）とは、有理数体の有限次代数拡大体のことである。代数体 K の有理数体上の拡大次数 [K:Q]を、K の次数といい、次数が n である代数体を、n 次の代数体という。 特に、2次の代数体を二次体、1のベキ根を添加した体を円分体という。
K を n 次の代数体とすると、K は単拡大である。つまり、K の元 θ が存在して、K の任意の元 α は、以下の様に表される。
α =a_0+a_1θ +・・・ +a_n-1θ^n-1。
但し、 a_0, a_1,・・・, a_n-1 は有理数。
このとき θ は n 次の代数的数であるので、K を Q 上のベクトル空間とみたとき、1, θ ,・・・ , θ^n-1 は基底となる。

http://hooktail.sub.jp/algebra/ExtensionField/
拡大体
(抜粋)
ある体 F に，幾つかの元を付け足すことで， F を含む体 E を作れるとき， E を F の 拡大体 (もしくは単に 拡大 )と呼びます．
体 F の拡大体 E は， F 上のベクトル空間になっています．
F 上のベクトル空間と見たときの E の次元を EのF上の次数 もしくは 拡大次数 と呼び， [E:F] と書きます． [E:F] が有限のとき E を 有限次拡大体 ,無限のとき 無限次拡大体 と呼びます．
素体
逆に，部分体を考えて行くとき，これ以上小さな部分体が取れない(部分体は体自身のみ)となる体を 素体 と呼びます．有理数体は素体です．
有理数体 Q は素体です．
素数 p の剰余体 Z_p は素体です．
実は『全ての素体は， Q か Z_p と同型である』と言えるのです．後ほど 素体 の記事で証明します．
http://hooktail.sub.jp/algebra/PrimeFiled/
素体
(抜粋)
有理数体と剰余体は，それぞれ素体であることを 拡大体 で示しました．実は，逆に全ての素体は有理数体か剰余体のどちらかに同型であることが言えるのです．
全ての素体は，有理数体 Q か剰余体 Z_p に同型です．
証明には準同型定理と商体の知識が必要です．イデアルも少し出てきます．少し長いですが，証明を掲げておきます．
次の定理も重要です．
任意の体 F は，ただ一つの素体を含みます．

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/251

261: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/27(日) 12:05:56.30 ID:EUeYkluT

>>250 追加

類体論の一般化には、下記３つあって
1つは、the Langlands correspondence
1つは、anabelian geometry
1つは、higher class field theory

anabelian geometry が出てくるのが面白。IUTに関連

Langlands programは、
”・・to non-abelian extensions. This generalization is mostly still conjectural. For number fields, class field theory and the results related to the modularity theorem are the only cases known.”
とあるね。the modularity theorem＝谷山?志村予想だね

https://en.wikipedia.org/wiki/Modularity_theorem
Modularity theorem
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B0%B7%E5%B1%B1%E2%80%93%E5%BF%97%E6%9D%91%E4%BA%88%E6%83%B3
谷山?志村予想

https://en.wikipedia.org/wiki/Class_field_theory#Generalizations_of_class_field_theory
Class field theory
(抜粋)
In mathematics, class field theory is the branch of algebraic number theory concerned with the abelian extensions of number fields, global fields of positive characteristic, and local fields.
The theory had its origins in the proof of quadratic reciprocity by Gauss at the end of 18th century. These ideas were developed over the next century, giving rise to a set of conjectures by Hilbert that were subsequently proved by Takagi and Artin.
These conjectures and their proofs constitute the main body of class field theory.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/261

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