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現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む78 (1002ﾚｽ)
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む78 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/
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233: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/26(土) 11:29:20.89 ID:fHUQGPHQ >>231 つづき 可換類体論のまとめ（＾＾ https://lemniscus.hatena（URLがNGなので、キーワードでググれ（＾＾ ） 再帰の反復blog 2014-07-06 類体論についてのメモ (抜粋) 3. 類体論の主な定理 類体とは次のようなものだった。 類体についての3種類の説明: (1)類体とは、あるmで [Im(K):Hm(L/K)]=[L:K] となるような拡大体L/Kのことである。 (2)類体とは、素イデアル(≒素数)の分解の仕方が、合同イデアル群Hによって(≒ あるmで割ったときの「余り」による類別で)判るような拡大体L/Kのことである。 (3)類体とは、アーベル拡大体L/Kのことである。 もっと短く言えば、類体とは、(1)ある等式をみたす拡大体のことであり、(2)素イデアルの分解の仕方が「余り」で判る拡大体のことであり、(3)アーベル拡大体のことである。 類体論を証明する上では、(1)を類体の定義として、 ・基本定理: アーベル拡大体は類体である。 ・分解定理: 類体では、素イデアルの分解の仕方は合同イデアル群Hm(L/K)によって定まる。 (特に合同イデアル群に含まれる素イデアルp∈Hm(L/K)は「完全分解」する(体の拡大次数個の異なる素イデアルに分解する)) が証明される(さらに類体論の他の結果も使って(1)と(2)と(3)が同値性が示される)。 類体は、他にもいろいろな性質を持っている。 特に重要(で証明がたいへん)なのは、同型定理、一般相互法則、存在定理など。 4. エルブランの補題の使われるところエルブランの補題は、基本定理「アーベル拡大は類体である」を証明するときに使われる。 類体の定義に戻れば、基本定理は次のような主張になる。 L/Kがアーベル拡大なら、あるmで [Im(K):Hm(L/K)]=[L:K] となる。 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/233
234: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/26(土) 11:31:02.81 ID:fHUQGPHQ >>233 つづき 類体論の源流クロネッカー（＾＾ http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1060-21.pdf 類体論の源流 三宅克哉 (東京都立大学理学研究科) 数理解析研究所講究録 1060 巻 1998 年 185-209 (抜粋) § 1 源流クロネッカー (1823-1891) 類体論の直接の源流はクロネッカーである. 彼は特にアーベルとクムマーの影響下で 2 種類の問題を提示した : 「アーベル多項式の特徴付け」 と, いわゆる 「単項化定理」 である. 1853 年, 29 歳のクロネッカーは短い論文 [Kr-18531 で次の主張を提示した. クロネッ朝 $-$ ーヴエ一バーの定理 : 有理整数係数のアーベル方程式の根は必ず 1 の 罵乗根の有理整数係数の有理関数として表される. ただし, この時点では, クロネッカーはガロア群が巡回群であるような代数方程式を 「アーベル方程式」 と呼んでおり, 後に [Kr-18771 ではこれを [単純アーベル方程式 またガロア群が可換群であるものを 「アーベル方程式」 と呼ぶことにした. この論文で 説明されているように, どちらの定義を取ってもこの定理の含むところは変わらない. 彼はこの定理を ttSatztt と呼んでいるが, 証明は結局は ${}^{\mathrm{t}}\mathrm{i}\grave{7^{\backslash }}i\mathrm{L}^{-}$ バーの論文「We-18871 を待 つことになる. 1857 年になると, 短いが?段と楕円関数に踏み込んだ論文 [虚数乗 法が生じる楕円関数につい $\text{て}4$ ([Kr-1857a]) を著している. これと, この年にディリ シュレに宛てた手紙 [Kr-1857b1 からみて, いわゆる 「クロネッカ一の青春の夢」 がこの 頃に描かれたものと思われる. 数学上の予想ないし研究課題としての 「クロネッカ $-$ の 青春の夢」 は, 彼がデデキントに宛てた 1880 年の手紙 ( $[\mathrm{K}\mathrm{r}- 1880\mathrm{b}]\rangle$ のなかで, 彼が 「私のいちばんのお気に入りの青春の夢」 $\langle$ ... um meinen liebsten Jugendtraum, $\ldots\rangle$ と呼 んだ, おおむね次のような数学の問題 (予想) を指す : クロネッカーの青春の夢 : 虚 2 次体上のアーベル多項式の根は, その 2 次体を虚数乗 法に持つ楕円関数の「特異モデュライ」 と周期の等分点での値ですべて与えられる. つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/234
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