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現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む78 (1002ﾚｽ)
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む78 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/
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231: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/26(土) 11:24:36.40 ID:fHUQGPHQ >>230 つづき (どんな部分表現かは理解してません。英語のpdfでも探してみてください。 一方ガロア表現の定義はK を体とし，GK を K の絶対 Galois 群E を 複素数体 C，p進体（Qp の有限次拡大、有限体のいずれかとし、V を体 E 上の有限 次元ベクトル空間として、K の Galois 表現とは，連続準同形 ρ: Gal(K/K) ?→ GL(V ) のことです。 そしてなぜ志村谷山予想がラングランズプログラムの一部かというと楕円曲線Eのl分点の群E［l］をQの絶対ガロア群の表現として考えて保形形式と結びつけて考えたからみたいです。 これは僕の考察ですがKを標数pの体としてE→Eの自己同型写像を整数Nに対してN倍写像と定義されていているのでl^n分点アーベル群を逆極限とった加群がTate加群ってことなのかな？ おそらくだけど楕円曲線は「いい素数」だけを見たくて、そのいい素数の集合で考えるのが便利との発想でl進数で考えてるのかな？ 5.非可換類体論とは 予想ですけど多分楕円曲線ガロア群が得られてmodpの解をモジュラー関数の係数(母関数だと）見たのと同じように、最小多項式をモジュラー関数の係数だと考えればmodpでイデアルの分岐の様子がわかるのが非可換類体論だということじゃないでしょうか？ まだ保形形式の係数にどういう数学的意味が含まれているか僕はわかりませんが、実際に非可換なガロア群と対応できる保形形式は見つかってるそうです。ということはこれがラングランズの応用。非可換なアーベル群の文化の様子を調べる理論ってことじゃないでしょうか？？？ （勉強したことをまとめた上での推測です (引用終り) つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/231
233: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/26(土) 11:29:20.89 ID:fHUQGPHQ >>231 つづき 可換類体論のまとめ（＾＾ https://lemniscus.hatena（URLがNGなので、キーワードでググれ（＾＾ ） 再帰の反復blog 2014-07-06 類体論についてのメモ (抜粋) 3. 類体論の主な定理 類体とは次のようなものだった。 類体についての3種類の説明: (1)類体とは、あるmで [Im(K):Hm(L/K)]=[L:K] となるような拡大体L/Kのことである。 (2)類体とは、素イデアル(≒素数)の分解の仕方が、合同イデアル群Hによって(≒ あるmで割ったときの「余り」による類別で)判るような拡大体L/Kのことである。 (3)類体とは、アーベル拡大体L/Kのことである。 もっと短く言えば、類体とは、(1)ある等式をみたす拡大体のことであり、(2)素イデアルの分解の仕方が「余り」で判る拡大体のことであり、(3)アーベル拡大体のことである。 類体論を証明する上では、(1)を類体の定義として、 ・基本定理: アーベル拡大体は類体である。 ・分解定理: 類体では、素イデアルの分解の仕方は合同イデアル群Hm(L/K)によって定まる。 (特に合同イデアル群に含まれる素イデアルp∈Hm(L/K)は「完全分解」する(体の拡大次数個の異なる素イデアルに分解する)) が証明される(さらに類体論の他の結果も使って(1)と(2)と(3)が同値性が示される)。 類体は、他にもいろいろな性質を持っている。 特に重要(で証明がたいへん)なのは、同型定理、一般相互法則、存在定理など。 4. エルブランの補題の使われるところエルブランの補題は、基本定理「アーベル拡大は類体である」を証明するときに使われる。 類体の定義に戻れば、基本定理は次のような主張になる。 L/Kがアーベル拡大なら、あるmで [Im(K):Hm(L/K)]=[L:K] となる。 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/233
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