現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む78

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230: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/26(土) 11:23:29.27 ID:fHUQGPHQ

>>228
つづき

なので最大アーベル拡大は整数環の副有限完備化の単数群と同型ですが、整数環に定義される指標といえばディリクレ指標なのでこの関係式は「ガロア群の表現とディリクレ指標の一対一対応」と考えることができます。
詳しく言うとΠ1/1?(a/p)p=Σλ(n)/n^nが二次体のガロア表現と保型表現の対応になるみたいです。

類体論の骨組みは代数体上アーベル拡大のガロア群がイデール類群と同型になるような写像を作れるということでした。
(イデールはアデールの可逆元の集合でアデールはある体のp進付値で完備化したものをぜんぶくっつけたものです。
よくわからないならZに対するRみたいなもので(イメージは全然違いますが任意の体に(位相的に見てZとRの関係性に似たような関係を持つ)体を定義したようなものです。)
とにかくデカイ体だということを認識してくれたら大丈夫です。物理的にも重要な環らしいです。通常)。
アデール群の一般線形群が保型表現では重要になりますが1次元の場合はイデール群となりラングランズ予想で出て来るアデールの一般線形群と一次元類体論と整合がつきます。
通常のイデール群はQの可逆元の集合、Zの副有限完備化の可逆元の集合、R>0の可逆元の集合に直積分解でき、類体論の基本定理はイデール群のQとR>0の可逆元の剰余群(イデール類群)に最大アーベル拡大は同型だという主張のことです。
イデール類群のCの可逆元のへの指標の集合をヘッケ指標だと言い、これがさっき注意したZの副有限完備化の単数群の集合を経由する場合にはディリクレ指標になります。

l進ガロア群の重要さは古典的アーベル拡大の理論から来てるのだと思います。自然にl進数に射影できるし

4.ラングランズ予想とは
Langlands予想とは簡単に言えば「n次の良いEuler積は全てGLnの保型L関数である。という予想であって、ここで良いとは全s平面に有理型に解析接続できてs⇔1-sという型の関数等式をもつこと」らしい(数論Ⅱより)。このGL群はアデール上の一般線形群のことを指すのだと思います。
保型形式論では行列群の整数係数部分群、所謂モジュラー群が重要になって来るんですが、ラングランズ予想は一般の体係数の行列群をそのモジュラー群と見てアデール上の保型形式を考えること、そのアデール係数行列群からの右正則表現の部分表現のことらしいです。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/230

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