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現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む78 (1002ﾚｽ)
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む78 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/
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23: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/10/19(土) 20:26:01.58 ID:ti2BclkQ >>16-17 ID:S/ONPb/Gさん、どうも。スレ主です。 >Q上（Q(ζ)上としてもほぼ同じ）の可解5次方程式f(x)=0 は2項5次方程式に帰着するか？ ここ、下記 松田 修 のべき根拡大 定理 61 があるのです つまり、体 K が 1 の原始 n 乗根 ζが添加されているとして、 べき根拡大 ←→ 巡回群 が成立つ これは、小島寛之のガロア本（下記）の P208 べき根拡大の定理1と（＝簡単に言えば、べき根拡大ならガロア群は巡回群） P222 べき根拡大の定理1の逆（＝簡単に言えば、ガロア群が巡回群ならべき根拡大） と同じです これ、方程式のガロア理論では、多分頻出です （参考） http://www.tsuyama-ct.ac.jp/matsuda/ Matsuda’s Web Page 松田 修 http://www.tsuyama-ct.ac.jp/matsuda/eBooks/Tebooks.html TSUYAMA E-MATH BOOKS http://www.tsuyama-ct.ac.jp/matsuda/eBooks/galios.pdf PDF ガロア理論を理解しよう Osamu MATSUDA 津山高専 2018/11/16 (抜粋) P76 10.2 べき根拡大 定理 61 体 K が 1 の原始 n 乗根 ζ （ζ≠ 1 (1 <= r <= n-1), ζn = 1）を含むとする． (1) L が K の n 次巡回拡大であれば，L = K(α), Irr(α, K) = X^n - a となる α が存在する． (2) もし L = K(α), α^n = a ∈ K であれば，L は K の巡回拡大である． 証明 略 https://gihyo.jp/dp/ebook/2019/978-4-297-10628-7 知の扉 【完全版】天才ガロアの発想力 ―対称性と群が明かす方程式の秘密― 著者 小島寛之 著 発売日 2019年7月6日 (抜粋) 2010 年に刊行した『天才ガロアの発想力』を大幅加筆しました。 これまでにないガロアの定理の完全解説本です。 第7章 5次以上の方程式が解けないからくり ガロアの基本定理1の証明 解けない方程式の「からくり」はこうだ（それなり版証明） P208 べき根拡大の定理1（＝簡単に言えば、べき根拡大ならガロア群は巡回群） 解ける方程式の「からくり」はこうだ P222 べき根拡大の定理1の逆（＝簡単に言えば、ガロア群が巡回群ならべき根拡大） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/23
24: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/10/19(土) 20:47:10.39 ID:ti2BclkQ >>23 つづき もし、体 K に 1 の原始 n 乗根 ζが添加されていない場合は 単純に、「べき根拡大 ←→ 巡回群」は言えない 例えば、下記 元吉 文男 f(x)=x^5+x^4-4x^3-3x^2+3x+1 のガロア群は、巡回群になるそうです （詳しくは下記） （参考） スレ77 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/942- https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/101850/1/0722-02.pd 巡回群をガロア群に持つ5次方程式の判別とその解法(数式処理と数学研究への応用) 元吉 文男 数理解析研究所講究録 (1990), 722: 17-20 (抜粋) P17 §1. ガロア群が巡回群かどうかの判定 fのQ上の最小多項式はfであるのでfの 1 根をα としたとき にfを Q(α)で因数分解して、 根がすべて分離できれば巡回群である。 P18 §3. 例 f(x)=x^5+x^4-4x^3-3x^2+3x+1 を解くことにする。α をf(x)=0の根とする。 f(x)=(x-α)h(x,α) =(x-α)(x-(α^4-4α^2+2))(x-(α^3-3α))(x-(α^2-2))(x-(-α^4-α^3+3α^2+2α-1)) となって因数分解ができ、 fのQでのガロア群が巡回群であることがわかる。 f(x) の代数的解法 上の因数分解から θ(α)=α^2-2 とする。 これより θ^2(α)=α^4-4α^2+2 θ^3(α)=α^3-3α θ^4(α)=-α^5-α^4+3α^3+2α-1 となる。 略（原文を見よ） (実はα はω_{11} を 1 の原始 n 乗根として α=ω_{11}+ω_{11}^10 と表すことができる。) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/24
25: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/10/19(土) 20:57:02.65 ID:ti2BclkQ >>23-24 追加 (引用開始) 松田 修 のべき根拡大 定理 61 があるのです つまり、体 K が 1 の原始 n 乗根 ζが添加されているとして、 べき根拡大 ←→ 巡回群 が成立つ (引用終り) なので １）方程式のガロア理論的の教育というか学習としては、「1 の原始 n 乗根 ζが添加されているとして」考えると ”べき根拡大 ←→ 巡回群”が成立つので、理論的にはすっきりしています ２）>>24 の 元吉 文男さんなどが研究されているのは（>>17の兵庫教育大学 大迎規宏 著）もそうかも知れないが 数式処理等にのせるには、「1 の原始 n 乗根 ζが添加されている」という仮定は、かえってコンピュータの処理に乗せにくい部分があるのでしょう 数体はQ（実際には整数ベース）として、数式処理の乗せる方が、素直なような気がします （数式処理ソフトは、あまり使っていないので、ここは外しているかも知れませんが） なので、上記１）と２）の立場をうまく使い分けるのが良いと思います http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/25
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