現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む78

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215: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/26(土) 11:03:50.06 ID:fHUQGPHQ

>>190
Fesenko先生、下記 渡邉崇
”高次元局所類体論の諸定理を I.B.Fesenko([F2]) の方法で示した”か

で、ところで、下記はOpenなのか
”今のところ素体 (有理数体 Q および有限体) に関係する体において、扱いやすい形で
Abel 拡大における Galois 群を近似する方法・すなわち類体論がいくつか知られているわ
けだが、素体によらない体で、類体論が構成され得るのか? また１世紀以上過ぎても依然
として Hilbert23 の問題の未解決問題として残っている類体の構成問題は、類体論が証明
されているすべての体上で解決できる問題なのか? など代数体の類体論が完成して、一世
紀弱が経過しているが、類体論について考えるべき問題が依然として多く残されている.”

類体論を、ガロアの逆問題（>>45）として見たとき
ガロア群がアーベルの場合は、類体論が役に立つ

では、
・ガロア群がアーベルの場合には、類体論で全て尽くされているのかどうか？
・ガロア群が非アーベルの場合は、どこまで解明されたのか？

https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~yukie/
雪江明彦のホームページ
https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~yukie/watanabe-shuron.pdf
Parshin による高次元局所類体論の構成について M2 渡邉　崇 2007年修士卒業 東北大学

目次
2 高次元局所体 7
2.1 諸定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 高次元局所体の位相 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1 序文
1.1 概略
本修士論文は A.N.Parshin([P1]) による高次元局所類体論の主定理の証明の紹介と、そ
の論文の中で示されていない高次元局所類体論の諸定理を I.B.Fesenko([F2]) の方法で示
した、標数 p (> 0) の高次元局所類体論の証明である. 主にこの論文通じて示したいこと
は次の主定理と類体論の諸定理である.
定理 1.1 (高次元局所類体論の主定理). F を標数 p (> 0) が n 次元局所体. Ktop
n (F) を
位相的 n 次 Milnor K-group とするとき
ψF : Ktopn(F) → Gal(Fab/F)
単射連続な準同型 ψF でその image が dense となるものが存在する.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/215

216: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/26(土) 11:05:14.09 ID:fHUQGPHQ

>>215
つづき

本論文では、まず §2 で高次元局所体の性質、§3 で K 群の性質を述べた後に、§4 で
主定理の証明方法の方針を示す. そして主定理の証明に決定的な役割を果たす Kummer
pairing（§5) と Artin-Schreier-Witt pairing(§7) の非退化性を示し、最後に §8 主定理の
証明と、他の重要な存在定理などを述べる.

1.2 歴史
高次元局所類体論について、類体論の歴史について概観しながら見ていくことにする.
Hilbert・高木貞治、最終的に 1925 年の E.Artin による相互写像の写像の証明によ
り、まず代数体の類体論 (大域類体論) が完成した. その後解析を使わない類体論の算
術的な証明の研究が進み、Chevalley により イデールが導入され算術的類体論の証明が
完成した. その当時局所類体論は大域類体論の系として得られていたが、大域類体論と
は独立して局所類体論を証明する動きが起こり、中山正・Hochschild・Tate らによる
有限群の Galois Cohomology の研究により Cohomology を用いて局所類体論が証明さ
れた。またその結果を利用して局所類体論を証明してから、大域類体論を証明する方法
も見出された. その後 Cohomology を使わない局所類体論の証明方法の研究がなされ、
M.Hazewinkle([H1],[I1]) の方法. Neukirch([NE1]) の方法. Lubin-Tate([LT1]) による
formal group を用いる証明方法. と現在様々な局所類体論の証明方法が知られている. (大
域類体論と局所類体論全般については例えば [KKS1]、また歴史については [A.M1] を参
照されたい.)

高次元局所体は伊原康隆による 1968 年京大数理解析研究所講究録の 「ある p 進完備な
関数体についての問題」([IH1]) の中に最初に現れたといわれている. 彼の仕事に刺激を受
けた加藤和也によって 1978 年ごろに高次元局所類体論が完成された.([K1, K2, K3]) 高次
元局所類体論の要点は、主定理が表しているように最大 Abel 拡大の Galois 群が Milnor
K-group で近似されることである. 一方 A.N.Parshin は Z 上有限型既約スキームの研究
([P2]) をしているなかで、高次元局所体が現れることを見出し、加藤和也とは独立して
ほぼ同時期に高次元局所類体論を完成させたといわれている.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/216

250: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/26(土) 21:50:11.08 ID:fHUQGPHQ

>>215
追加

https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku/67/3/67_0673246/_article/-char/ja/
数学/67 巻 (2015) 3 号/書誌
論説
高次元類体論の現在
??非アーベル化への展望と高次元Hasse原理??
斎藤 秀司
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku/67/3/67_0673246/_pdf/-char/ja
論説 高次元類体論の現在 非アーベル化への展望と高次元Hasse 斎藤秀司 数学 ?2015
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%96%8E%E8%97%A4%E7%A7%80%E5%8F%B8
斎藤 秀司（さいとう しゅうじ、1957年10月16日 - ）は、日本の数学者。東京工業大学理工学研究科理学研究流動機構教授。専門は数論幾何、代数幾何。
経歴
1981年東京大学大学院修士課程修了。1985年博士号を取得。東京大学助教授、東京工業大学教授、名古屋大学教授、東京大学教授を経て、東京工業大学理工学研究科理学研究流動機構教授。
師は伊原康隆、加藤和也。
加藤和也との共同研究である高次元類体論の一般化は広く知られている。アーベルの定理の高次元化、代数的サイクル、高次元アーベル=ヤコビ写像などの研究もある。
受賞
1996年 - 日本数学会春季賞：類体論の一般化および代数的サイクルの研究

https://twitter.com/unaoya/status/724570367293952000
りす. ?@riss_gendarmery 2016年4月23日
高次元類体論 ってなにが高次元なんだろう…wiki見ると高次元大域体とかあったけどそれがなんなのかからわからない
梅崎直也 @unaoya 2016年4月25日
普通の類体論が代数体の整数環とか有限体上の曲線とか1次元のスキームを調べるのに対して（Z上有限生成な）次元の高いスキームを考える感じです。Galois側は基本群とかその表現とかで、アデール側はK群とかチャウ群とかを使います。
りす. @riss_gendarmery 2016年4月25日
なるほど！スキームの次元が高いということだったんですね！ありがとうございます！
梅崎直也@unaoya 2016年4月25日
高次元大域体というのは素体上有限生成な体ぐらいの意味だと思います。そのようなものを関数体にもつスキームを考えるかんじです。

つづく
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/250

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