現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む78

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176: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/24(木) 17:13:36.82 ID:zndIMm6S

>>173
ID:V4UM6AG2さん、どうもスレ主です。

あなたは、かなり勉強されているみたいだから、もう少し教えてもらえますか？

少し、記号を整備しましょう。
下記、ガロア理論の基本定理にならいます。

基礎体F、拡大体E、中間体K、有理数体Q
体の有限次ガロア拡大 E/Fのガロア群 Gal(E/F)
基礎体F上、F係数の一般ｎ次方程式による体の拡大を考えて、拡大体Eが得られたとする
（簡単のために、FはQ上の代数拡大体とする）

Gal(E/F) ＝Sn （n次対称群）
体：Q ⊆ F ⊆ K ⊆ E
　　↓↑（ガロア対応）
群：S'⊇ Sn⊇ G ⊇{e}

ここに、GはSnの部分群で、S'はSnを含む群、 {e}は単位元からなる自明な群
（そして、ケーリー（Cayley）の定理（>>129）から、Snを十分大きく取れば、任意の群Gに対して、”Sn⊇ G”成立）

で、あなたは、
体：F ⊆ K ⊆ E
　　↓↑（ガロア対応）
群：Sn⊇ G ⊇{e}
なら、作れるといったわけですよね（>>80）
（体 F、K、E を自由に選んで良いなら、自由度が上がっている？ ）

でも、ガロア逆問題は
体：Q ⊆ K
　　↓↑（ガロア対応）
群：G ⊇{e}
となる体：Q ⊆ K （Q上の拡大体K）が存在するかどうか（あるいは見つける）ですよね（あなたの言葉を借りれば）

そういう理解で良いですかね？
なるほど
しかし、Qに限らないのでは？ 自由度の問題では？

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96%E3%81%AE%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E5%AE%9A%E7%90%86
ガロア理論の基本定理
(抜粋)
定理の最も基本的な主張は「体の有限次ガロア拡大 E/F が与えられると、その中間体とガロア群 Gal(E/F) の部分群の間に一対一対応が存在する」ことである。
（中間体とは、F ⊆ K ⊆ E を満たす体のことを言う、それらを E/F の部分拡大と言う。）

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/176

190: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/25(金) 18:50:08.96 ID:xcx18NtP

>>176
なるほど なるほど
分かりました 分かりました

"ガロアの逆問題"：
「ある基礎体Eに対して、群Gを与えたとき、拡大体Fを求めよ」という問題ですね

で、この視点から、これを広く解釈すれば、類体論もこの類の問題になる（後述）
１）可換の場合
　・基礎体Q、1 の冪根（円関数）で、クロネッカー?ヴェーバーの定理
　・有理数体の虚二次拡大体の場合、高木類体論（楕円曲線の虚数乗法）
　・一般の基礎体Fなら、ノイキルヒの本らしい
２）非可換の場合
　・ラングランズ対応
３）これ以外で、数論幾何における高次局所体および高次大域体のアーベル拡大
　・A. パーシン、加藤和也、イヴァン・フェセンコ、スペンサー・ブロック、斎藤秀司ら

とか書かれていますね（下記）
イヴァン・フェセンコ先生は、例のIUTで望月先生を支持している方かな？

ではまた（＾＾

（参考）
（>>45-46）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96
ガロア理論
(抜粋)
逆問題
与えられた方程式（あるいは体のガロア拡大）のガロア群を計算する問題を "ガロアの順問題"、与えられた群をガロア群にもつ方程式（あるいは体の拡大）を構成する問題を "ガロアの逆問題" と呼ぶことがある。

https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_Galois_problem
Inverse Galois problem

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A4%E3%83%B4%E3%82%A1%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%95%E3%82%A7%E3%82%BB%E3%83%B3%E3%82%B3
イヴァン・フェセンコ（Ivan Fesenko）は、数論および現代数学での他分野との（数論の）相互作用を研究している、ロシアの数学者である。
(抜粋)
フェセンコは、望月新一の宇宙際タイヒミューラー理論（英語版）(Inter-universal Teichmuller theory、IUT)の研究を整頓するうえで積極的な役割を果たした。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/190

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