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現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む78 (1002ﾚｽ)
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む78 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/
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122: １３２人目の素数さん [sage] 2019/10/22(火) 06:15:59.34 ID:t2rCNfO0 >>117 1.Q上対称群S_n（nは2以上の任意整数）をガロア群としてもつガロア拡大K/Q が存在する。 2.任意の有限群Gはあるnに対してS_nの部分群と同型。（つまりGは忠実な置換表現を持つ。） 3.ガロア対応。S_nの任意の部分群Gに対してGの不変体をkとするとK/kはガロア拡大でGal(K/k)=G。 1.は>>80のヒントに書いた。決して自明ではなく、証明されるべきこと。 2.,3. は代数の常識。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/122
129: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/22(火) 07:51:45.17 ID:u309yKT7 >>122-123 > 2.任意の有限群Gはあるnに対してS_nの部分群と同型。（つまりGは忠実な置換表現を持つ。） それって、ケーリー（Cayley）の定理でしょ？ いま問題にしているのは "ガロアの逆問題"（下記）で、与えられた群をガロア群にもつ方程式（あるいは体の拡大）を構成する問題ですよ ちょっと違うんじゃない？ つまり"ガロアの逆問題"は、与えられた群Gを含む大きなガロア群（例えば大きなSn）を見つける問題ではなく、「群Gそのものがガロア群になる体の拡大が存在するかどうか」という問題でしょ？ 参考 https://okwave.jp/qa/q5264057.html 任意の有限群は、適当な置換群 Sn(N) の部分群？ loboskobay OKWAVE 2009/09/05 質問No.5264057 (抜粋) 「任意の有限群は適当な置換群 Sn(N) の部分群である」 ベストアンサー zk43 2009/09/05 定理の名前でいえば、 ケーリー（Cayley）の定理といいます。 証明の概略としては、Gを位数nの有限群として、 a∈Gを一つ取り、x→ax（x∈G）で写像fa:G→G を定めると、これは全単射であり、Gの置換を 引き起こします。Gの置換全体の集合をSGとすると、 明らかにSGとSnは同型です。 そして、a→faによって写像φ：G→SGを定めると、 これは単射準同型になるので、GはSGに埋め込まれる、 すなわち、GはSnの部分群と同型となる、といえます。 （>>45より） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96 ガロア理論 (抜粋) 逆問題 与えられた方程式（あるいは体のガロア拡大）のガロア群を計算する問題を "ガロアの順問題"、与えられた群をガロア群にもつ方程式（あるいは体の拡大）を構成する問題を "ガロアの逆問題" と呼ぶことがある。 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/129
138: １３２人目の素数さん [sage] 2019/10/22(火) 09:14:15.06 ID:t2rCNfO0 >>136 「ガロア逆問題」は「Q上」という条件が付いている。 そして、Q上とは限らず、ともかくGをガロア群として持つガロア拡大K/kが存在するか？ という問題だと存在は自明になってしまう。だから問題にされないんですよ。 証明は>>122に書いてある通りです。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/138
152: １３２人目の素数さん [sage] 2019/10/22(火) 11:08:09.27 ID:t2rCNfO0 証明は>>122で示しましたよ。不備があるなら言って下さい。 補足しますよ。具体例は自分で計算してください。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/152
180: １３２人目の素数さん [sage] 2019/10/24(木) 18:22:47.31 ID:VtUUj/v5 >>176 わたし（>>122）とID:V4UM6AG2さんは別人ですよ。 >>117に対する回答が>>122です。 この回答に誤りがあるなら言ってください。 （わたしはないと思ってます。 そして何度も言っているように自明・トリヴィアルな話。） 「基礎体は固定されておらず動かしてもいい」 ということも最初から言っています。 貴方は何年間もガロア理論を勉強されてきて こんなことも分からないほどモノになっていない ことを自覚して下さい。 貴方はまずは「不明だったのはは自分でした」 と認めて下さい。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/180
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