[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む78 (1002ﾚｽ)
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318(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/30(水)17:11 ID:xePUfid4(1/5) AAS
>>308 追加
下記
”generic polynomials”
”Theorem 0.5.1. (Brumer) A generic polynomial for the dihedral group D5
of degree 5 over an arbitrary field K is given as follows:
f(s, t,X) = X^5 + (t ? 3)X^4 + (s ? t + 3)X^3 + (t2 ? t ? 2s ? 1)X^2 + sX + t
over K(s, t) where s and t are indeterminates.”
は、興味深いね
外部ﾘﾝｸ[pdf]:library.msri.org
Mathematical Sciences Research Institute
Publications 45
Generic Polynomials
Constructive Aspects of the Inverse Galois Problem
Christian U. Jensen
University of Copenhagen
Arne Ledet
Texas Tech University
Noriko Yui
Queen’s University, Kingston, Ontario
university of cambridge
Mathematical Sciences Research Institute 2002
(抜粋)
0.5. Description of Each Chapter ・・・P9
We also exhibit generic polynomials for the groups of degree 3, 4 and 5. For instance, we
have the following result:
Theorem 0.5.1. (Brumer) A generic polynomial for the dihedral group D5
of degree 5 over an arbitrary field K is given as follows:
f(s, t,X) = X^5 + (t ? 3)X^4 + (s ? t + 3)X^3 + (t2 ? t ? 2s ? 1)X^2 + sX + t
over K(s, t) where s and t are indeterminates.
We also demonstrate the non-existence of a generic C8-polynomial over Q,
and as a consequence get the following two examples of fixed subfields of the
function field Q(s, t, u) in three indeterminates s, t, u, both with a C4-action,
where one is rational and the other not:
Theorem 0.5.2. (a) Let be the automorphism on Q(s, t, u) given by
略
(引用終り)
以上
319(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/30(水)17:20 ID:xePUfid4(2/5) AAS
>>317
ID:7Ir4b7+Hさん、どうもスレ主です。
>スレ主はPSL(2,16)の意味は分かってる？
自慢じゃないが、深いところは分かっていない（＾＾；
>これは射影特殊線形群というやつだね。
>モジュラー群 PSL(2,Z)とかと同じく
>(az+b)/(cz+d)の形で作用する。
なんか聞いたことがあるような無いような
高木先生の本に書いてなかったかな？
ガウスが、楕円関数論で、モジュラーに気付いていたとか
> 16は位数16の有限体F_16を意味する。
>なんでPSL(2,16)が対称群S_17の
>部分群として現れるか分かる？
> 16+1=17なんだけど、+1の意味分かる？
>自分は分かったｗ
そこらの深いところは分からないが
直感的には、17が素数であって
対称群S_17に、交代群A17が正規部分群として入っていて
それとの関係かなー？
320: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/30(水)17:29 ID:xePUfid4(3/5) AAS
>>318 文字化け注意
f(s, t,X) = X^5 + (t ? 3)X^4 + (s ? t + 3)X^3 + (t2 ? t ? 2s ? 1)X^2 + sX + t
↓
? の部分は、”−”記号なのだが、文字コードの関係で、アスキー以外が使われていたんだろう
なかなか目視では見つからないんだ
投稿前にビューをチェックすれば良いのだが
なかなかそこまで気が回らないのよ（＾＾；
321(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/30(水)17:38 ID:xePUfid4(4/5) AAS
>>319 追加
ああ、こんなのがあるね。これか！（＾＾；
外部ﾘﾝｸ:shironetsu.hatenadiary.com
Shironetsu Blog
2018-08-14
小さな非可換単純群 - PSL(2,p)
(抜粋)
イントロ
2番目に/小さい非可換/単純群
はじめのいくつかの単純群
有限体上の特殊射影線形群 PSL(n,p)
定義
ガロアの最期の手紙
PSL(2,p)の位数
共役類を数える
単純性
まとめとこれから
有限体上の特殊射影線形群 PSL(n,p)
定義
さて順序が前後したがPSL(n,q)を定義する. 記号Ln(q)で表されることもある.
PはProjective, SがSpecial, LがLinear. nは行列のサイズでqは有限体Fq上にあることを意味する. 行列式1の行列全体のなす群SL(n,q)の中心による剰余群がこの群PSL(n,q)である.
一般論に踏み込むことはできないのでここからは専らPSL(2,p)を考える. pは奇素数としておく. この場合話は早くて, P1(Fp)＝〜Fp∪{∞}に対する, 行列式が1の1次分数変換全体のなす群と考えるとよい.
たとえばp=7で
置換の巡回記法で表すとそれぞれ
fg=(04)(12)(36)(5∞)=(0426)(135∞)
になっている.
PSL(2,p)はP1(Fp)への推移的な作用で(p+1)次対称群に埋め込めるということ.
ガロアの最期の手紙
ではそれより小さい対称群への埋め込みが存在するか, というと, これこそガロアが死の直前に友人オーギュスト・シュヴァリエに宛てた手紙の中で述べた命題の内容で,
p=5,7,11の場合にしかp次対称群への埋め込みは存在しない
(位数pの元が存在することからそれ未満は不可能だとすぐに分かる.).
Galois' last letter
外部ﾘﾝｸ:www.neverendingbooks.org
一応この3つ組を調べること, 特に指標表を書くこと(PSL(2,5)は5次交代群なのですでにやったが)を目標として書き始めたのがこの記事. これもまたマッカイ対応のひとつらしい.
保形形式の理論をはじめ, すごい数学がここから広がっているらしいが地道に始める.
PSL(2,p)のよいところは簡単な数論で調べられるところ.
PSL(2,p)の位数
略
(引用終り)
以上
322(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/30(水)18:00 ID:xePUfid4(5/5) AAS
>>321 補足
＞たとえばp=7で
＞PSL(2,p)はP1(Fp)への推移的な作用で(p+1)次対称群に埋め込めるということ.
＞p=5,7,11の場合にしかp次対称群への埋め込みは存在しない
＞(位数pの元が存在することからそれ未満は不可能だとすぐに分かる.).
このアナロジーでいうと
pは奇素数として
一つずらして
”PSL(2,p-1)はP1(Fp-1)への推移的な作用で(p)次対称群に埋め込める”
が、言えるのかな？
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