現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む78

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118(2): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/22(火)00:01 ID:u309yKT7(1/15) AAS
>>113
自分のことを言っているのかね？（＾＾

このガロアスレは、もともとテンプレにもある通り（>>8 及び下記）
”大学新入生もいると思うが、間違っても５ＣＨ（旧２ＣＨ）で数学の勉強なんて思わないことだ
このスレは、半分趣味と遊びのスレと思ってくれ（＾＾；
もう半分は、ここはおれのメモ帳だ ”

(参考)
現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む64
2chｽﾚ:math
9 名前：現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 投稿日：2019/04/26(金) 13:55:26.20 ID:mF7ZEDvm [9/34]
大学新入生もいると思うが、間違っても５ＣＨ（旧２ＣＨ）で数学の勉強なんて思わないことだ
このスレは、半分趣味と遊びのスレと思ってくれ（＾＾；
もう半分は、ここはおれのメモ帳だ（ここには、自分が面白いと思った情報を集めてあるんだ。過去ログ見ると、いろいろ面白い情報（リンクやPDF があるよ（＾＾）
（もしサイト移動などでリンク切れのときは、引用してある文章のキーワードによる検索をお願いします）

以下過去スレより再掲
2chｽﾚ:math
7 自分：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2017/04/19(水) 22:07:49.66 ID:gLi5Ebjw
まあ、過去何年かにわたって、猫さん、別名、￥ ◆2VB8wsVUooさんが、数学板を焼いていたからね
ガロアスレは別として、数学板は焼け跡かな

再生は無理だろう
そもそも、５ＣＨ（旧２ＣＨ）は、数学に向かない

アスキー字に制限され、本格的な数学記号が使えない
複数行に渡る記法ができない

複数行に渡る矢印や、図が描けない（ＡＡ（アスキーアート）で数学はできない）
大学数学用の掲示板を、大学数学科が主体となって、英語圏のような数学掲示板を作った方がいいだろうな、実名かせめてハンドルネーム必須でね、プロないしセミプロ用のを

119(1): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/22(火)00:05 ID:u309yKT7(2/15) AAS
>>111
ども、訂正ありがとう

>巡回置換表示で(2354)と書いたら
> ２→３→５→４→２
>の意味だろが

That's right！
その通りでした（＾＾；
いいつっこみだ

120(1): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/22(火)00:18 ID:u309yKT7(3/15) AAS
おさるも、バグ取り人として、存在価値があるかも
そういう気がしてきたな（＾＾

127(1): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/22(火)07:14 ID:u309yKT7(4/15) AAS
>>121
？
これ、>>113のID:Equcgj9Rさんかな？

逆に質問するけど
あなたは、何のために、数学板にいるの？
ガロアスレで説教たれるためか？
いまの数学板で、まともなスレがいくつある？
（下記「数学：2ch勢いランキング」ご参照）

あなた、説教垂れるヒマがあったら、自分でスレ立てるかして、お手本を示したらどうですか？
あるいは、他のスレでも、このスレでも良いけど、自分で有益な書き込みをしたらどうですか？

参考
外部ﾘﾝｸ[html]:49.212.78.147
数学：2ch勢いランキング 10月22日 7:05:28 更新
(抜粋)
順位 6H前比スレッドタイトルレス数勢い
1位 = 現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む78　122 　36
2位 = 0.99999……は１ではない　その２　438 　35
3位 = 現代数学の系譜　カントル　超限集合論　453 　27
4位 = 高校数学の質問スレPart401　957 　21
5位 = 数学の本　第86巻　613 　21
6位 = フェルマーの最終定理の簡単な証明　584 　20
7位 = 【未解決問題】奇数の完全数が存在しないことの証明5　742 　20
8位 = 分からない問題はここに書いてね456　842 　19
9位 = Inter-universal geometry と ABC予想 41　955 　16
10位 = フェルマー最終定理について　303 　15
11位 = 文理融合のための数学教育　90 　7
12位 = 現代数学はインチキのデパート　102 　6

129(7): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/22(火)07:51 ID:u309yKT7(5/15) AAS
>>122-123
> 2.任意の有限群Gはあるnに対してS_nの部分群と同型。（つまりGは忠実な置換表現を持つ。）

それって、ケーリー（Cayley）の定理でしょ？
いま問題にしているのは "ガロアの逆問題"（下記）で、与えられた群をガロア群にもつ方程式（あるいは体の拡大）を構成する問題ですよ
ちょっと違うんじゃない？
つまり"ガロアの逆問題"は、与えられた群Gを含む大きなガロア群（例えば大きなSn）を見つける問題ではなく、「群Gそのものがガロア群になる体の拡大が存在するかどうか」という問題でしょ？

参考
外部ﾘﾝｸ[html]:okwave.jp
任意の有限群は、適当な置換群 Sn(N) の部分群？ loboskobay OKWAVE 2009/09/05 質問No.5264057
(抜粋)
「任意の有限群は適当な置換群 Sn(N) の部分群である」

ベストアンサー zk43 2009/09/05
定理の名前でいえば、
ケーリー（Cayley）の定理といいます。
証明の概略としては、Gを位数nの有限群として、
a∈Gを一つ取り、x→ax（x∈G）で写像fa:G→G
を定めると、これは全単射であり、Gの置換を
引き起こします。Gの置換全体の集合をSGとすると、
明らかにSGとSnは同型です。
そして、a→faによって写像φ：G→SGを定めると、
これは単射準同型になるので、GはSGに埋め込まれる、
すなわち、GはSnの部分群と同型となる、といえます。

（>>45より）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ガロア理論
(抜粋)
逆問題
与えられた方程式（あるいは体のガロア拡大）のガロア群を計算する問題を "ガロアの順問題"、与えられた群をガロア群にもつ方程式（あるいは体の拡大）を構成する問題を "ガロアの逆問題" と呼ぶことがある。

つづく

130: 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/22(火)07:52 ID:u309yKT7(6/15) AAS
>>129
つづき

英文だが
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Cayley's theorem
(抜粋)
In group theory, Cayley's theorem, named in honour of Arthur Cayley, states that every group G is isomorphic to a subgroup of the symmetric group acting on G.[1] This can be understood as an example of the group action of G on the elements of G.[2]

A permutation of a set G is any bijective function taking G onto G. The set of all permutations of G forms a group under function composition, called the symmetric group on G, and written as Sym(G).[3]

Cayley's theorem puts all groups on the same footing, by considering any group (including infinite groups such as (R,+)) as a permutation group of some underlying set.
Thus, theorems that are true for subgroups of permutation groups are true for groups in general. Nevertheless, Alperin and Bell note that "in general the fact that finite groups are imbedded in symmetric groups has not influenced the methods used to study finite groups".[4]

The regular action used in the standard proof of Cayley's theorem does not produce the representation of G in a minimal-order permutation group.
For example, {\displaystyle S_{3}}S_{3}, itself already a symmetric group of order 6, would be represented by the regular action as a subgroup of {\displaystyle S_{6}}S_{6} (a group of order 720).[5]
The problem of finding an embedding of a group in a minimal-order symmetric group is rather more difficult.[6][7]
(引用終り)
以上

131(2): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/22(火)08:17 ID:u309yKT7(7/15) AAS
>>81
>x→ ax+b
>要するに(Z/7Z)×の生成元を見つければいい

それ結構センスいいね
ちょっと違うけど、類似のことを考えていた
前スレのBrent Everitt先生 P77を見て、思いついたんだが
前スレの「分解体KはQ上6次拡大体なので、Gal(K/Q)=S_3.
ただし、1の原始3乗根ωを添加した体上では
Gal(K/Q(ω))=C_3と退化する。」

という議論を、Brent Everitt先生 P77を適用すれば
P77のx^5-2=0のクンマー拡大の群から、位数20＝5x4の群が求まって、その群は1の原始n乗根ωが添加されない一般の位数20の群と同じ
それを、素数p次 x^p-2=0 で考えると、ガロアの第一論文の最終命題のFrobenius group（>>51）が得られるね

スレ77 2chｽﾚ:math
875 自分返信：現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 投稿日：2019/10/16(水) 07:54:22.35 ID:OrOarbJT [5/12]
(抜粋)
(Brent Everitt先生、これお薦めです。カラーの絵が豊富で分り易い。（練習問題の解答が無くなっているね（＾＾））
外部ﾘﾝｸ:arxiv.org
Galois Theory - a first course
Brent Everitt
(Submitted on 12 Apr 2018)
These notes are a self-contained introduction to Galois theory, designed for the student who has done a first course in abstract algebra.
外部ﾘﾝｸ[pdf]:arxiv.org

スレ77 2chｽﾚ:math
(抜粋)
938 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2019/10/17(木) 20:14:37.67 ID:rXxqe236 [7/8]
aを3乗数でない整数とすると、x^3-aはQ上既約。
分解体KはQ上6次拡大体なので、Gal(K/Q)=S_3.
ただし、1の原始3乗根ωを添加した体上では
Gal(K/Q(ω))=C_3と退化する。これが一般3次方程式との違い。
つまり、一般3次方程式は最初に2次方程式を解いたあとωを添加して3次クンマー拡大でべき根表示が得られる
（分解体Kにωが含まれることを必ずしも意味しない）わけですが
最初の2次拡大とQ(ω)/Qが一致する特殊ケースが2項方程式（及びそれと同値な方程式）なわけです。
わたしが指摘したのは、この類似が5次方程式でも成立してるよねってことです。
以上

134: 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/22(火)08:56 ID:u309yKT7(8/15) AAS
>>128
＞巡回置換記法の意味くらい自分で勉強しろよ

すまん、すまん
矢ヶ部を思い出したよ
「矢ヶ部　巌：数Ⅲ方式　ガロアの理論」で、S5の部分群を出すところがあって
そのときに、位数20群を扱っていて「F20の生成元が{(12345)(2354)}」（>>98）
と書いてあって、その意味も、解説されていたことを思い出した

スレ77 2chｽﾚ:math
773 名前：現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 投稿日：2019/10/10(木) 10:32:57.70 ID:K6AlmfoH [1/3]
種本でもないけど、お薦めは、下記「矢ヶ部　巌：数Ⅲ方式　ガロアの理論」
これ分かり易かった。大学教程のガロア理論を学んだ人なら、一日で読めるでしょう
外部ﾘﾝｸ[ja]:www.ne.jp
矢ヶ部　巌：数Ⅲ方式　ガロアの理論まりんきょ学問所数学の部屋 MARUYAMA Satosi 最終更新日：2019-08-23
概要
３人の対話により、ガロアの理論を紹介している。副題は「アイデアの変遷を追って」
感想
初版は 1976 年、第 9 刷は 2002 年に出ている。その後入手困難となっていたが、 2016 年に新装版が出た。
(引用終り)

136(1): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/22(火)09:05 ID:u309yKT7(9/15) AAS
>>135
　>>129より
”ちょっと違うんじゃない？
つまり"ガロアの逆問題"は、与えられた群Gを含む大きなガロア群（例えば大きなSn）を見つける問題ではなく、「群Gそのものがガロア群になる体の拡大が存在するかどうか」という問題でしょ？”

どぞ

145(1): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/22(火)10:34 ID:u309yKT7(10/15) AAS
>>131

Brent Everitt先生のガロア理論の表紙に、綺麗な絵のいわゆるサッカーボール切頂20面体があるのですが
（外部ﾘﾝｸ[pdf]:arxiv.org
　Galois Theory - a first course Brent Everitt (Submitted on 12 Apr 2018)）

数学セミナー 2019年11月号で
数学トラヴァース戸村浩氏がP55の写真で手に持っているがそれですね

外部ﾘﾝｸ[html]:www.nippyo.co.jp
数学セミナー　2019年11月号
(抜粋)
・数学トラヴァース／数理造形はブドウ酒の味がする／
　　戸村浩氏（造形美術家）にきく……　54

画像ﾘﾝｸ

切頂20面体（もどき）展開図（ペーパークラフト）
外部ﾘﾝｸ[html]:polyhedra.cocolog-nifty.com
正多面体クラブ
2014年9月 7日 (日)
切頂20面体（もどき）展開図（ペーパークラフト）

つづく

146: 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/22(火)10:34 ID:u309yKT7(11/15) AAS
>>145

つづき

外部ﾘﾝｸ[html]:polyhedra.cocolog-nifty.com
正多面体クラブ
2017年11月13日 (月)

外部ﾘﾝｸ[pdf]:polyhedra.cocolog-nifty.com
正20面体・サッカーボール

画像ﾘﾝｸ

正20面体の展開図と一緒にあるサッカーボールの出来上がりは、こんな形。

サッカーボールは「切頂20面体」といって、正20面体の頂点を切り落とした形です。切り落としたところを正５角形でふさぐのは（すご～く）大変なので、穴の空いたままです。
※JAXA（宇宙航空研究開発機構）のサイトに「サッカーボール型木星儀ペーパークラフト」があります。こちらは５角形のところが穴あきじゃないです。（でも作るの大変そう～）元気のある人は、作るの挑戦してみてください。
(引用終り)
以上

147(1): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/22(火)10:35 ID:u309yKT7(12/15) AAS
>>144
そう、あせるな
病気が悪化するぞ

149(4): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/22(火)10:53 ID:u309yKT7(13/15) AAS
>>138-139
？
ケーリー（Cayley）の定理（>>129）より
任意の群Gは、置換群による表現を持ち、ある大きな対称群Snに含まれる
そして、ある体E上で、対称群Snをもつ一般方程式（それはn次になる）が存在して、代数拡大F/Eが得られる
これは、Q上でも同じ

それで良いなら、
ガロア逆問題
”All permutation groups of degree 16 or less are known to be realizable over Q [4]; the group PSL(2,16):2 of degree 17 may not be [5].”

なんてことにはならないでしょ？　なんで、”the group PSL(2,16):2 of degree 17 may not be [5].”なの？
ある体E上で、PSL(2,16)を使って、拡大体Fがどうなるか？

どぞ、PSL(2,16)の拡大体Fを示してください

　>>46
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Inverse Galois problem
(抜粋)
( unsolved problems in mathematics)
Partial results
All permutation groups of degree 16 or less are known to be realizable over Q [4]; the group PSL(2,16):2 of degree 17 may not be [5].

参考
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
代数拡大
(抜粋)
抽象代数学において、体の拡大 L/K は次を満たすときに代数的（英: algebraic）であると言う。
L のすべての元は K 上代数的である、すなわち、L のすべての元は K 係数のある 0 でない多項式の根である。代数的でない体の拡大、すなわち超越元を含む場合は、超越的 (transcendental) と言う。

例えば、体の拡大 R/Q, すなわち有理数体の拡大としての実数体は、超越的であるのに対し、体の拡大 C/R や Q(√2)/Q は代数的である。ここで C は複素数体である。

すべての超越拡大は無限次元の拡大である。言い換えるとすべての有限次拡大は代数的ということになる[1]。しかしながら逆は正しくない。無限次代数拡大が存在する。例えば、代数的数体は有理数体の無限次代数拡大である。

a が K 上代数的であれば、K 係数の a による多項式全体の集合 K[a] は環であるだけでなく体である：K 上有限次の K の代数拡大である。逆もまた正しく、K[a] が体ならば a は K 上代数的である。特別な場合として、K = Q が有理数体のときは、Q[a] は代数体の例である。

150: 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/22(火)10:54 ID:u309yKT7(14/15) AAS
>>148
落ち着いて、治療した方がいいぞ

151: 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/22(火)10:56 ID:u309yKT7(15/15) AAS
>>149 補足

＞どぞ、PSL(2,16)の拡大体Fを示してください

ああ、好きに基礎体Eを選んで良いよ

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